人工知能数学6週目

課題目標
Python numpyパッケージを用いてコードを記述し,所与のマトリクスの2次元分解を求める.
参考資料:リンク
行列AAAの定義
numpyコードを記述して、以下の3 x 3マトリクスAAAを定義してください.
A=[3111−2−1111]A =\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1\\1 & -2 & -1\\1 & 1 & 1\end{array}\right]A=⎣⎢⎡​311​1−21​1−11​⎦⎥⎤​

import numpy as np
import numpy.linalg 

# 행렬 코딩
A = np.array(([3,1,1,1], [1,-2,1,1], [1,-1,1,1], [1,-1,1,1]))

print(A)
print(np.shape(A))

マトリックスAAAの二次元分解計算
先に定義した行列AAAについて、LU分解、A=QRA=QRA=2次元を実行するnumpyコードを記述します.

# QR 분해
Q, R = np.linalg.qr(A)

print("Q:", Q)
print("R:", R)

## QR 분해 결과 체크: 연산결과가 A와 동일한지 체크
AA = np.dot(Q, R)
print("AA:", AA)

ベクトルの定義
numpyコードを記述して、以下の3ベクトルbmathbf{b}bを定義してください.
b=[412]\mathbf{b} =\left[\begin{array}{rrr} 4\\1\\2\end{array}\right]b=⎣⎢⎡​412​⎦⎥⎤​

# 벡터 코딩
b = np.array((4,1,2))

print(b)
print(np.shape(b))

2 D分解を使用して線形系Ax=bAmathbf{x}=mathbf{b}Ax=bを解放
行列AAAの2次元分解を用いて,Ax=bAMathbf{x}=Mathbf{b}Ax=bを計算するnumpyコードを記述する.
Ax=bAmathbf{x}=mathbf{b}Ax=bをQRx=bQRmathbf{x}=mathbf{b}QRx=bと見なし、以下の問題を解決する.

Rx=yRmathbf{x}=mathbf{y}はRx=y,Qy=bqmathbf{y}=mathbf{y}=mathbf{y=b解答ymathbf{y}yに設定されている.

Rx=yRmathbf{x}=mathbf{y}Rx=y問題、xmathbf{x}xを得る.

解放線形系Qy=bqmathbf{y}=mathbf{b}Qy=b
Qは直交行列(直交行列)であるため,Qの逆行列は前置行列QTQ^{T}QTと同じである.
これらの性質を利用して,ymathbf{y}yを解くnumpyコードを記述する.

# Qy = b 풀기

y = np.linalg.lstsq(Q, b, rcond=None)[0]
print("y:", y)
print(np.shape(y))

解線形系Rx=yRmathbf{x}=mathbf{y}Rx=y
RRRは、逆行列が存在する上三角行列(上三角行列)である.
これらの性質を利用して,xmathbf{x}xを求めるnumpyコードを記述する.

# Rx = y 풀기

x = np.linalg.lstsq(R, y, rcond=None)[0]

print("x:", x)
print(np.shape(x))

線形システムを決定する年
コード検証を記述する前に2次元分解を用いて求めたxmathbf{x}xが線形系Ax=bAmathbf{x}=mathbf{b}Ax=bの解であるか否かを検証する.

## 결과 검증

bb = np.dot(A, x)
print(bb)

if np.allclose(b, bb):
  print("Ok")
else:
  print("something wrong")