Theory

Ref) Harvard Statistics110 - The Poisson distribution

Poisson配布とは?

表中の単位時間(または単位空間)イベントの度数分布

単位時間に数回発生する離散確率分布

ポアソン分布の所望値と分布λ\lambdaλ

f(n,λ)=λne−λn!f(n,\lambda)= {\lambda^ne^{-\lambda}\over n!}f(n,λ)=n!λne−λ​

PMF of Poisson Distribution

f(X=k)=λke−λk!      k∈{0,1,2⋯ }f(X = k) = {{{\lambda ^k}{e^{ -\lambda }}}\over {k!}}\,\,\,\,\,\,k\in\{ 0,1,2\cdots\}f(X=k)=k!λke−λ​k∈{0,1,2⋯}

Is it valid PMF?

∑k=0∞λke−λk! =e−λeλ=1\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{{\lambda ^k}{e^{ -\lambda }}}\over {k!}}\,} = {e^{ -\lambda }}{e^\lambda } = 1k=0∑∞​k!λke−λ​=e−λeλ=1

Expectation value

E(X)=e−λ∑k=0∞kλkk!=e−λ∑k=1∞λk−1λ(k−1)!=λE(X) = {e^{ -\lambda }}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{k{\lambda ^k}}\over {k!}}}\\\kern{6em} = {e^{ -\lambda }}\sum\limits_{k = 1}^\infty {{{{\lambda ^{k - 1}}\lambda }\over {(k - 1)!}}} =\lambdaE(X)=e−λk=0∑∞​k!kλk​=e−λk=1∑∞​(k−1)!λk−1λ​=λ

When use?

は、所与の時間、距離、面積などの場合にランダムイベントの発生回数を統計する必要がある場合に適用される.

Ex)毎秒クリック数、1時間ごとに店に入る人数、毎分ネット上で紛失したパケット数など

.

は複数回使用されていますが、成功率は低いです.

Number of emails in hour.

Number of chips in chocolate chip cookies.

Number of earthquakes in a year in some region.

Poisson Paradigm (Poisson Approximation)

Events A1A_1A1​, A2A_2A2​, ... AnA_nAn​, P(Aj)=pjP(A_j)=p_jP(Aj​)=pj​ (nnn is large, pjp_jpj​ is small)

各イベントが独立または弱い独立である場合、
Then # of AjA_jAj​'s that occur is approximated as Pois(λ);  λ=∑j=1npjPois(\lambda );\,\,\lambda =\sum\limits_{j = 1}^n {{p_j}}Pois(λ);λ=j=1∑n​pj​

二項分布はどのようにポアソン分布に収束しますか?

X∼Bin(n,p)X\sim Bin(n,p)X∼Bin(n,p), let n→∞n\to\inftyn→∞, λ=np\lambda=npλ=np is held constant.
Find what happens to
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k\kern{3em}P(X=k)=(\substack{n\\k})p^k(1-p)^{n-k}P(X=k)=(nk​)pk(1−p)n−k, kkk is fixed.
=n(n−1)⋯(n−k+1)k!λknk(1−λn)n(1−λn)−k\kern{7.6em}= {{n(n - 1)\cdots (n - k + 1)}\over {k!}}{{{\lambda ^k}}\over {{n^k}}}{\left( {1 - {\lambda\over n}}\right)^n}{\left( {1 - {\lambda\over n}}\right)^{ - k}}=k!n(n−1)⋯(n−k+1)​nkλk​(1−nλ​)n(1−nλ​)−k
=λkk!e−λ\kern{7.6em}= {{{\lambda ^k}}\over {k!}}{e^{ -\lambda }}=k!λk​e−λ, Poisson PMF at kkk

Practice (MATLAB)

Ref) MATLAB Poisson distribution

ポアソン分布のpdfを計算する

モード数lambda=4のPoisson分布を持つpdfを計算した.

x = 0:15;
y = poisspdf(x, 4);

figure();
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

ポアソン分布のcdfを計算する

x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);

figure;
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

ポアソン分布pdfと正規分布pdfを比較する

Labmdaが大きいほどPoisson分布は平均lambdaと分散lambdaの正規分布に近い.
毛遂拉bmda=50のポアソン分布のpdfを計算した.

lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1, lambda);

mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

figure;
bar(x1, y1, 1)
hold on
plot(x2, y2, 'LineWidth', 2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution', 'Normal distribution', 'location', 'northwest')
hold off