３次元極座標系と一様乱数を用いると球面上に一様に乱数は生成できない

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３次元極座標系を用いて球面上に一様な乱数を生成しようとする。

x=r\sin{\theta}\cos{\phi}\\
y=r\sin{\theta}\sin{\phi}\\
z=r\cos{\theta}\\   
\\
(0\leq{\theta} \leq {\pi}, 0\leq{\phi} \leq 2{\pi})

実際のプログラム

今回はAnacondaのJupyter Notebookを用いてプログラムを実行した。

全体

全体としては下記のように記述した。

import numpy as np
import random
import math
import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure(figsize = (5,5))
ax = fig.add_subplot(111, projection = "3d")


test=1000
r=1.0
for i in range(test):
    a = random.uniform(0, np.pi)
    b = random.uniform(0, 2*np.pi)

    x = r*np.sin(a)*np.cos(b)
    y = r*np.sin(a)*np.sin(b)
    z = r*np.cos(a)

    X = [x]
    Y = [y]
    Z = [z]

    ax.plot(X,Y,Z,marker="o")
    ax.tick_params(labelbottom = False,
               labelleft = False,
               labelright = False,
               labeltop = False)

plt.show()

方針

方針としてはx,y,zについてr=1とし、θとΦをramdom関数を用いて擬似乱数として1000回設定し、点(x,y,z)がどのように球面状に分布するかを考える。
（果たして球面上に一様に分布するかどうかを確かめる。）

必要なライブラリをインポート

numpy,matplotlib.pyplot,randomをインポートする。

import numpy as np
import random
import math
import matplotlib.pyplot as plt

綺麗な３次元図形を描くための準備をする

サイズが対称な３次元図形となるために必要なコードを入れる。

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure(figsize = (5,5))
ax = fig.add_subplot(111, projection = "3d")

for文の中で(x,y,z)を作成しプロット

r=1としtest=1000回の繰り返しを実行する。
a=θ, b=Φとしてそれぞれ0~π, 0~2πの範囲の中でランダムな数を生成する。
x,y,zにθ,Φを代入する。

このまま散布図としてプロットすることができなかったため、x,y,zの値をX,Y,Zのリストの中に入れてからプロットする。

test = 1000
r = 1.0
for i in range(test):
    a = random.uniform(0, np.pi)
    b = random.uniform(0, 2*np.pi)

    x = r*np.sin(a)*np.cos(b)
    y = r*np.sin(a)*np.sin(b)
    z = r*np.cos(a)

    X = [x]
    Y = [y]
    Z = [z]

   ax.plot(X,Y,Z,marker = "o")

plt.show()

補足

無駄な軸の目盛りを削除した。

ax.tick_params(labelbottom = False,
               labelleft = False,
               labelright = False,
               labeltop = False)

結果

極付近に点が集中してしまい、一様に分布しない。
つまり、極座標系を用いて球面上に一様乱数を生成することはできない。

一様分布にならなかった理由

３次元の場合、球面上の微小面積は

dS=r^2\sin{\theta} d{\theta}d{\phi}\\\

すなわち、曲付近（θが小さい）ほど微小面積が小さく、小さな範囲に乱数が集中してしまうためである。

次回は一様乱数を球面上に作るための方法を考える。