高校数学の「極限値」関連の問題をPythonで解く
概要
関数の極限値に関する問題(高校数学)を Python で解いていきます。練習問題と解答例の作成支援を目的としています(教員向けものです)。
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問1
次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2-x}{4-2x^2} $$
問1の解き方(参考)
分子分母を $x^2$ で割ります。
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2-x}{4-2x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5-\frac{1}{x}}{\frac{4}{x^2}-2} = -\frac{5}{2} $$
問1の解を与えるPythonプログラム
sympy を利用して解きます。sympy は、記号計算(数式処理)のパッケージです。無限大 $\infty$ は sympy.oo
で与えます。
from sympy import oo, limit, Symbol
x = Symbol('x')
fx = ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
ans = limit(fx, x, -oo)
print(f'解:{ans}')
実行結果
解:-5/2
おまけ1
分数関数 $\frac{5x^2-x}{4-2x^2} $ のグラフを描いてみます。$x\to -\infty$ を見るために、$x$軸をログスケールにします。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import Symbol,solve
# 定義域を確認
g = ( 4 - 2*x**2 ) # 分母
sx = solve(g)
tmp = ', '.join(map(str,sx))
print(f'分母 ( {g} ) がゼロになるのは(定義域から除外されるのは) x= {tmp} ')
# グラフの描画 ここからは numpy を利用
x1 = -np.logspace(-2, 4, num=100)[::-1] # -10e4 ~ -10e-2
x2 = np.logspace(-2, 4, num=100) # 10e-2 ~ 10e4
x = np.concatenate([x1,x2])
f = lambda x : ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
y = f(x)
plt.figure(dpi=120)
plt.plot(x, y, marker='.')
plt.ylim(-10,10)
plt.xscale('symlog') # 対称ログスケール
plt.show()
おまけ1の実行結果
分母 ( -2*x**2 + 4 ) がゼロになるのは(定義域から除外されるのは) x= -sqrt(2), sqrt(2)
グラフからも、$x\to -\infty$ で、$-2.5$ に収束することが推測できます。
おまけ2
定義域から外れる $x= \pm\sqrt{2}$ でどのような値に近づくのかを見てみます。ここでは $\sqrt{2}$ について、右側($\sqrt{2}+\delta$)からと左側($\sqrt{2}-\delta$)からのアプローチしたときの値を見てみます。つまり、$x\to \sqrt{2}^{+}$、$x\to\sqrt{2}^{-}$ のときの極限値を求めます。
sympy.limit()
の第4引数に、'+'
または '-'
を設定します。
from sympy import limit, Symbol,sqrt
x = Symbol('x')
fx = ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
ans1 = limit(fx, x, sqrt(2), '+')
ans2 = limit(fx, x, sqrt(2), '-')
print(f'解:{ans1}, {ans2}')
おまけ2の実行結果
グラフの結果と一致します。
解:-oo, oo
問2
次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1}-x ) $$
問2の解き方(参考)
\begin{align}
\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1}-x ) & = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& = 0
\end{align}
問2の解を与えるPythonプログラム
from sympy import oo, limit, Symbol, sqrt
x = Symbol('x')
fx = sqrt(x**2+1)-x
ans = limit(fx, x, oo)
print(f'解:{ans}')
実行結果
解:0
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この問題について(高校数学の「極限値」関連の問題をPythonで解く), 我々は、より多くの情報をここで見つけました https://qiita.com/code0327/items/1fd0df574c8c8357af5a著者帰属:元の著者の情報は、元のURLに含まれています。著作権は原作者に属する。
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