ゲーム開発で使える数学　三角法編

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三角法の前準備

三角関数に入る前に角の説明をするとともに、
変換や回転などににもよく使われるのでしっかり押さえましょう。

角とは

角は頂点と呼ばれ点で交わる２本の半直線から作られます。
２本の半直線の一方始辺と言い、
もう一方を終辺と言います。
（一般的に角はギリシャ語でα,β,θで表します。）

度とラジアン

X軸の正の向きは減点のまわりを反時計回り。
時計回りが負の向きとなります。

度からラジアンの変換

度 × (円周率 ÷ 180)で求まる。
※#define PI 3.14159265359とする

    float Rad = 0.f;
    const float Degrees = 60.f;
    Rad = Degrees * (PI / 180);

ラジアンから度への変換

ラジアン × (180 ÷ 円周率)で求まる。

    const float Rad = 1.0472f;
    float Degrees = 0.f;
    Degrees = Rad * (180 / PI);

※PI = 3.14159265359

三角関数

ピタゴラスの定理

まず初めにcの長さを知りたい場合はピタゴラスの定理を使うと計算できます。
証明済みってことなのですが直角三角形なんかは３つの内角の和は180°（３つのうち１つの90°もう２つの角度の和は90°）というのも証明済みだと言える。
したがってピタゴラスの定理があれば３つのうち２つの長さがわかれば残りの辺の長さも求めることができる。
公式
c²=a²+b²

b=5,a=12だった場合の図のcの長さを求める。

$c=\sqrt{12²+5²} = \sqrt{144+25} =\sqrt{169} =13$
c=13なことがわかる。

float A, B, C;
A = 12.f;
B = 5.f;
C = sqrt(pow(12.f,2.f) + pow(5.f,2.f));

※sqrt(平方根) pow(べき乗)

サイン（sine）コサイン（cosine）タンジェント（tangent）の定義

ここでは角度と角度に接する１辺の長さがわかっていればもう一つの辺がの長さがわかる。
よく使われる角の三角関数の値

α (度) α(ラジアン) sinα cosα tanα
0 0 0 1 0
30 π/6 0.5 0.8660 0.5774
45 π/4 0.7071 0.7071 1
60 π/3 0.8660 0.5 1.7321
90 π/2 1 0 一
120 2π/3 0.8660 -0.5 -1.7321
180 π 3 -1 0
270 3π/2 -1 0 一
360 0 3 1 0

表を覚えていると計算がスムーズにできると思うので覚えておきましょう。
それでは表をもとに計算していきましょう。
例
α＝60°,c=50だった場合のa=長さはいくつでしょうか。
$cos60° = \frac{a}{50}$
$50(cos60°) = a$
$50×0.5 = a$
$25 = a$
となります。

float a, Degrees;
Degrees = 60.f * (PI / 180);
a = cos(Degrees)*50;

逆三角関数

アークサイン（asine）アークコサイン（acosine）アークタンジェント（atangent）
を使って計算していきます。
ここでは３辺のうち２辺の長さがわっていれば内角αの角度が求められる。

早速計算していきましょう。
a=1,b=4のときαは何度になるでしょう。
$tanα = \frac{4}{1}$
$tanα = 4$
$a = tan⁻¹(4)$
$a = 76°$

float Red = atan(4.f);
float a = Red * (180.f / PI);