原因

cmd.exe, またの名をコマンドプロンプトは、カレントディレクトリーにあるファイルをPATH環境変数に列挙されているパスよりも優先して探索するというひどい仕様となっている。
今回のgitgutterのように自動的に実行されるコマンドと組み合わされてしまった場合、

• 呼び出されるコマンドと同じ名前で、
• 拡張子が環境変数PATHEXTで列挙されているもの（デフォルトでは.jsや.bat, .exeなど）

を、カレントディレクトリーに置いただけで意図しないファイルを実行できてしまう。

加えてgitgutterはその性格上、gitコマンドを何度も呼び出す必要があるため、何度WSHのダイアログを閉じてもエラーを発生させてしまう。
git.jsというファイルをリポジトリーに置いて開かせるだけでvimを使い物にならない状態にできてしまうのだ。

とりあえずの対策

冒頭にも挙げたが、今回の問題はカレントディレクトリーにあるgitという名前のファイルを呼んでしまうのが問題なので、必ず本物のgitコマンドを参照するよう設定すればよい。
vimrcに下記のように書けば実現できる。

if has('win32')
  " Git for Windowsをデフォルトでインストールした場合。お使いの環境に合わせて変えること。
  let g:gitgutter_git_executable = 'C:\Program Files\Git\bin\git.exe'
endif

これをユーザー全員が行うのも微妙なので、一応gitgutterのIssueとして報告したものの、直してもらえるかは微妙だ。

もっと根本的な対策

いずれにせよ、この問題はcmd.exeを何らかの形で使用している以上避けることができない。
gitgutterだけでなく、同じように子プロセスを呼ぶVimプラグイン（や、その他のプログラム）は、cmd.exeを介して呼ぶ限り、間違ってカレントディレクトリーにあるファイルを実行してしまうリスクを伴う。
そして困ったことに、 :! コマンドやsystem関数など、vimにおける子プロセスを呼び出す機能の多くはデフォルトで標準のシェル、つまりWindowsではcmd.exeを介してコマンドを実行するよう作られている¹。シェルのメタキャラクターを解釈したり、コマンドラインをパースする必要があるためだ。

これを根本的に防ぐには、プラグインの開発者がcmd.exeを使用しないよう、別の手段を使うしかない。
この点に考慮したのか、幸い、vimのjob_start関数やNeovimのjobstart関数では、第1引数をリストとして渡せば、cmd.exeを介さず、直接指定したコマンドを呼び出すことができる。
この方法はよくあるOSコマンドインジェクションを防ぐことにもつながるので、積極的に使うべきだろう。
残念ながら、vimのsystem関数や:!コマンドはこの呼び方をサポートしておらず、必ずcmd.exeを介して呼んでしまう（Neovimのsystem関数はサポートしている）。
Vim scriptの中で気軽にsystem関数や:!を呼ぶのはやめた方がいいだろう。

また、今回は試していないが、どうしてもシェルの特殊な機能が使いたいという場合は、PowerShellを介して呼ぶこともできる。
Microsoftも反省したのか、powershell.exeには今回紹介したような危険な仕様はない。
vimの設定項目shellとしてpowershell.exeを指定すれば、vimプラグインの開発者だけでなく、ユーザー自らが防ぐこともできる（はず）。

ちなみに

先ほどの事例は.jsファイルに対する関連付けがデフォルトのWSHとなっていた場合に起こるものだが、
もしgvim.exeを設定していた場合、git.jsを開いた瞬間無限にgvim.exeが立ち上がり、今度はvimどころかWindowsが使い物にならない状態になってしまう 。

GVimがgitgutterを使用してgitを呼ぶ -> git.js が立ち上がる -> 関連付けられているgvim.exeが立ち上がる -> ...
という無限再帰呼び出しが起こるためだ。

間違ってこれをしてしまって私は何度か電源長押しをせざるを得なくなってしまった
それでもちっとも狂わない最近のWindowsはすごいなぁと今更ながら思う。