恋愛を数式で捉えたい

交際中のカップルがうまくいく条件を、人の感情をモデル化することで考察する。

恋愛感情のモデル

恋愛とは、多くの場合、二人の人間の間に生じるものである。
ここで、この二人の恋愛感情、いわば「好き度」をそれぞれ $x, y$ と定義する。
好き度は値が正ならば好き、負ならば嫌い、また絶対値が大きいほどその感情が強いものとする。
（「好きの反対は無関心」という名言はあるが、ここでは無視する。）

好き度は時間に応じて変動するはずなので、時刻 $t$ の関数である。

さらに、二人の好き度は次のような関係を持って変動すると仮定する。($\cdot =\frac{d}{dt}$) ¹

\begin{cases}
\dot{x} = k_1y \\
\dot{y} = k_2x
\end{cases}

これは、一方の好き度の変化が、他方の好き度によって引き起こされることを意味している。
例えば、相手が自分を好きだから自分も相手を好きになる、といった現象である。

多くの文献によれば、実際には好き度は相手の行動により変化するようだ。
しかしながら、人の行動は当人の好き度に相関すると考えられるので、こうした単純な仮定も有効ではあろう。

比例定数 $k_1,k_2\in \mathbb{R}$ は好き度の変動を決める、個人に応じたパラメータである。
以下に $k_i$ の作用を簡単にまとめる:

1. $k_i > 0$: 素直タイプ
   • 相手が自分のことを好きであれば、自分も相手のことが好きになる
2. $k_i < 0$: 天の邪鬼タイプ
   • 相手が自分のことを嫌いであれば、自分は相手のことが好きになる
3. $k_i = 0$: 天下無双タイプ
   • 相手がどう思っていようが、自分の相手に対する思いは変わらない

3のケースは非常に稀であると考えられるので、以降では $k_i\neq 0$ とする。

恋愛感情のダイナミクス

先の関係式から、好き度 $x,y$ の挙動を簡単な微分方程式として解くことができる。²

\begin{align}
&\ddot{x} = k_1\dot{y} \\
\Rightarrow & \ddot{x} = k_1k_2x\\
\Rightarrow & x = \begin{cases}
Ce^{\sqrt{k_1k_2}t} & \text{if $k_1k_2 > 0$}\\
C(\cos\sqrt{-k_1k_2}t + i\sin\sqrt{-k_1k_2}t) & \text{if $k_1k_2 < 0$}
\end{cases}
\end{align}

また、$y=\frac{1}{k_1}\dot{x}$ から、$y$ については下記が得られる。なお、$C$ は任意定数。

\begin{align}
y = \begin{cases}
\frac{\sqrt{k_1k_2}}{k_1}Ce^{\sqrt{k_1k_2}t} & \text{if $k_1k_2 > 0$}\\
\frac{\sqrt{-k_1k_2}}{k_1}C(\sin\sqrt{-k_1k_2}t + i\cos\sqrt{-k_1k_2}t) & \text{if $k_1k_2 < 0$}
\end{cases}
\end{align}

これにより、時刻 $t$ における各人の好き度を計算できるようになった。

恋愛のパターン

前節の結果より、$k_1, k_2$ の値に応じて、次の恋愛パターンが得られる。

1． $k_1>0 \land k_2>0$ のとき (ふたりとも素直)
このとき、ある時点において互いが互いのことを好きになれば($x>0\land y>0$)、互いの好きは自ずと高まっていき、正に発散する。
好きが好きを呼ぶ、いわばLove spiralである。
いつまでも熱々のカップルは、この条件を満たしているのだろう。

2． $k_1k_2<0$ のとき （一方が素直、他方が天の邪鬼）
このとき、二人の好き度は振動する。俗に言う、付かず離れずの関係である。
$x,y$の位相が90度ずれていることに注意しよう。
傍から見れば面倒くさいが、まずまず良好な恋愛関係といってよいのではなかろうか。

3． $k_1<0 \land k_2<0$ （ふたりとも天の邪鬼）
残念なお知らせ…
このとき、二人の好き度は必ずどちらかが負に発散する。
無限に嫌いな相手との交際が続くわけはない。すなわち破局である。

天の邪鬼のペアが恋愛でうまくいくには

先の議論により、カップル二人とも $k<0$ である場合、不可避的に破局が待ち受けていることがわかった。
それでは二人が付き合うことは無謀なのだろうか？

安心されたい。解決策は存在する。

見せかけの好き度

「見せかけの好き度」という新たな概念を導入する。
これは、自身のもつ真の好き度とは関係なく、相手に自由に提示できる好き度である。
これを $\tilde{x}, \tilde{y}$ と表記する。

この時、恋愛ダイナミクスは下式となる。

\begin{cases}
\dot{x} = k_1\tilde{y} \\
\dot{y} = k_2\tilde{x}
\end{cases}

さて、今 $\tilde{x}$ は当人の意思により自由に制御可能であると仮定していた。
ここでは、次の制御則を考えよう。

\tilde{x} = -x

すなわち、 本当は好きな時でも、見せかけでは嫌いなように振る舞う のである。（ツンデレ方策）

この結果、ダイナミクスは $\dot{y} = -k_2x$ となるので、実質的に $k_2$ の符号が反転したと見なすことができる。
このため、相手が素の振る舞いを続けていれば（$\tilde{y} = y$ 、）好き度の変動は前節で議論した2の振動パターンへと変化する。

実らぬ恋が、結実するのだ。

まとめ

• 恋愛感情の動きを数式でモデル化した
• モデルから、恋愛には3種類のパターンがあることを見出した
  • 2/3のパターンは、そのままでもまずまずうまくいく
  • 1/3のパターンは、うまくいくためには片方の努力が必要である

本議論の限界

最初に導入したモデルに関して、次に挙げることを考慮できれば、より忠実化が可能であると考えられる。

• k値も時間変動する人間が存在しうる
  • 例えば女性は生物的に周期的な変化があるかもしれない
• パートナーの好き度は外から観測することしかできず、真値は決して知ることができない
  • 当人の観測誤差の大小により、恋愛ダイナミクスはまた変化してくるはず（e.g. 好きがパートナーに伝わらないなど）
• 好き度の変動には他の要因も存在する
  • 贈り物、発言、当人の心境、etc...
  • これらにより、現実にはありがちな好き度の不連続な変化を表現できる

※追記
Twitterにて $k$ 値に関する興味深い示唆が発見された。[Asada 2019]

・私を好きになる人は嫌い
・好きといわれてキモく感じた
・追いかけられると冷める

実はこれは自己肯定感の低さが原因です。自分が嫌いな人は「こんな私を好きになる人間はキモい理解できない」と避けたくなるのです。そして自分のものにならない悪い男に心奪われる。自分を大切にすることからだよ。
https://twitter.com/ASD_ELEGANT/status/1131520857673588736

これによれば、$k$ 値は決してある個人について不変なものではなく、自己肯定感とともに変動させうる。
自己肯定感を高める方法は現在までに多く提案されているので、これにより恋愛ダイナミクスを改善可能である。