Rabin-Miller素数テスト

本文は正確な確率を証明しないで、私は大きい整数が質数であるかどうかを判断しないためです

前提の定理

Ferma小定理:n nが質量数であり、a

定理2:p p pが2より大きい質量数であれば、a 2≡1(mod p)a 2≡1(m o d p)の解はa≡1 a≡1またはa≡−1 a≡−1のみである.

Rabin-Miller素数テスト

測定すべき数n nが2より大きい素数であれば、n−1 n−1が偶数であるn−1=2 sとする×d n − 1 = 2 s × d n n未満の整数a a a 2 sをランダムに×d≡1 (mod n) a 2 s × d ≡ 1   ( m o d   n ) (a2s−1×d)2≡1 (mod n) ( a 2 s − 1 × d ) 2 ≡ 1   ( m o d   n ) a2s−1×d≡1 (mod n) a 2 s − 1 × d≡1(m o d n)またはa 2 s−1×d≡−1 (mod n) a 2 s − 1 × d≡−1(m o d n)が1であれば−1が得られるかad≡±1(mod n)a d≡±1(m o d n)が得られるまで再帰を継続することもできる
実現するには,逆さにしてまずad a dを算出し,±1±1であるか否かを判断し,その後止まらない二乗を得てa 2を得る.×d,a22×d,a23×d...a2s×d a 2 × d , a 2 2 × d , a 2 3 × d . . . a 2 s × d途中まであるステップで−1−1が得られると,テストに合格する.途中で−1が得られる前に1が得られると、その数が±1に等しくない数の二乗によって1が得られ、定理2が満たされないと説明すると、その数テストは通過しない
一般的にはランダムに多くのa aを取り、何度もテストしてこそ確率を高めることができる.
しかしOIでは、この一連のaを使えばよい{2,3,5,7,11,13,17,19,23}{2,3,3,5,7,11,13,17,19,23}382512305546413051 3,825,123,056,546,413,051以内の数の計算が正しいことを保証する(long longを超えている)

コード#コード#

タイトル:HDU 2138

#include
const int TEST_VAL[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41},TEST_NUM=13;

long long PowMod(long long a,long long b,long long p)
{
    long long res=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=1LL*res*a%p;
        a=1LL*a*a%p;
        b>>=1LL;
    }
    return res;
}

bool MillerRabin(long long a,long long n,long long d)
{
    long long x=PowMod(a,d,n);
    if(x==1||x==n-1)
        return true;
    while(d1)
    {
        x=1LL*x*x%n;
        d=d*2LL;
        if(x==1)
            return false;
        if(x==n-1)
            return true;
    }
    return false;
}
bool isPrime(long long x)
{
    if(x<10)
    {
        if(x==2||x==3||x==5||x==7)
            return true;
        return false;
    }
    long long d=x-1;
    while((d&1LL)==0)
        d>>=1LL;
    for(int i=0;iif(TEST_VAL[i]return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n,ans;
    long long x;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        ans=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%I64d",&x);
            ans+=isPrime(x);
        }
        printf("%d
",ans);
    }

    return 0;
}