【数理モデル】 : ある合理的な女性の「理想の男性」の決定
何をするのか
架空の合理的な女性の「男性に求める理想の下限」がどのように決定されるかを数理モデルを用いて分析します。完全にネタ記事ですが、多少数学の勉強にはなるかもしれません。なお、女性としたのは女性の方が恋愛に関して合理的なイメージがあるためで、それ以上の他意は一切ありません。念の為言及しておきますと、以下の数理モデルは経済学で度々使用されるサーチ理論の枠組みを援用したものとなっています。なお、数理的な議論に興味がない人は設定部分だけ読んだら、結果の部分まで飛ばしていただいて構いません。
設定
ある合理的な女性がいる. この女性は現在彼氏探し中だ. とはいっても彼女がすることは 自分に告白してきた男性を受け入れるか受け入れないか というたった一つの意思決定を行うだけである. この女性の下に告白する男がやってくる確率は, 毎週 $\alpha \in (0,1)$ であるとし, 一週間に告白してくる男性は最大でも1人である. 告白してきた男性の魅力度を $\theta$ と表すことにしよう. ここで, この女性の元にやってくる男性は様々であるとする. これを, この女性のもとにやってくる男性の $\theta$ が確率変数であるとして表現することにしよう. この確率変数の下限は $\underline{\theta}$, 上限が $\bar{\theta}$ であるとし, その確率密度関数は $f(\theta)$, 累積型分布関数は $F(\theta)$ で表現されるとする. さらに, 魅力度 $\theta$ の彼氏と付き合っている場合, 毎週 $\theta$ の幸福度を得るが, 付き合っている彼氏が居ない場合, 毎期 $-d$ の幸福度を得るとする. つまり, $d$ は彼氏が居ない状態の嫌さを表すパラメータである. また, $d$ に関しては $-d \in (\underline{\theta},\bar{\theta})$ を満たすものだとする. これは, 最低の男性よりは付き合っていない状態のほうがマシ、ということを意味している. そしてどんな彼氏と付き合っていたとしても毎週 $s \in (0,1)$ の確率で別れてしまうものとしよう. 最後に, この女性は毎週 $\delta \in (0,1)$ の確率で死亡してしまうものだとする.1
ここまでに登場したパラメータをリストアップしておく.
- $\alpha \in (0,1)$ : 男性が告白してくる確率.
- $\theta \in [\underline{\theta}, \bar{\theta}]$ : 男性の魅力度. 女性のもとに告白してくる男性の魅力度は確率変数であり, 確率密度関数が$f(\theta)$, 累積型分布関数は $F(\theta)$ で表現される.
- $d$ : 誰とも付き合っていない場合に感じられる毎週の不幸度合い. $-d \in (\underline{\theta},\bar{\theta})$ を満たす.
- $s \in (0,1)$ : 付き合っている男性と別れる確率.
- $\delta \in (0,1)$ : この女性自身が死亡してしまう確率.
意思決定の分析
つまり, この女性は「どのような男性がいつ自分の元に告白してくるか」, 「いつ付き合っている男性と別れてしまうのか」, 「自分はいつ死んでしまうのか」といった不確実性の中で暮らしていることとなる. そんな中この女性は, 自身の生涯における幸福度の期待値(以下期待生涯幸福度と呼ぶ.)を最大にするように意思決定をすると考えよう. 第 $t$ 週にこの女性が生きているとして, その時の期待生涯幸福度の最大値を $V_{t}$ とする. この $V_t$ の大きさは, その時付き合っている男性がいるかどうか, 付き合っている男性の魅力度は何か, によって変わってしまう. そこで, 付き合っていない場合の幸福度の最大値を $V_t(d)$, 魅力度 $\theta$ の彼氏と付き合っている状態の幸福度の最大値を $V_t(\theta)$ とおく. このとき, $V_t(d)$, $V_t(\theta)$ はベルマン方程式を用いて, 再帰的に以下のように表現できる :
\begin{align}
V_t(d) &= -d + (1 - \delta)\biggl[ \alpha \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}} \max\bigl\{V_{t+1}(\theta), V_{t+1}(d)\bigr\} f(\theta) d \theta + (1-\alpha)V_{t+1}(d) \biggr] \\
V_t(\theta) &= \theta + (1-\delta) \bigl[ s V_{t+1}(d) + (1 - s) V_{t+1}(\theta) \bigr]
\end{align}
このモデルでは時間 $t$ それ自体に依存する変数が一つも存在しないため, 時間の添字をとって,
\begin{align}
V(d) &= -d + (1 - \delta)\biggl[ \alpha \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}} \max\bigl\{V(\theta), V(d)\bigr\} f(\theta) d \theta + (1-\alpha)V(d) \biggr] \tag{1} \\
V(\theta) &= \theta + (1-\delta) \bigl[ s V(d) + (1 - s) V(\theta) \bigr] \tag{2}
\end{align}
とかける. (1), (2) より
\begin{align}
\delta V(d) &= -d + (1-\delta) \alpha \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}\max\bigl\{ V(\theta) - V(d), 0 \bigr\}f(\theta)d\theta \tag{1-2} \\
\delta V(\theta) &= \theta - (1-\delta)s\bigl[ V(\theta) - V(d) \bigr] \tag{2-2}
\end{align}
ここで, $-d \in (\underline{\theta},\bar{\theta})$ の仮定および $V'(\theta)>0$ であることから, ある $\theta = \theta ^* $ が存在して, $ V( \theta ^* ) = V(d) $ である. この $\theta ^*$ は端的に言えば, 「許せる男の魅力度の下限」である. (1-2) より
\begin{align}
\delta V(d) &= -d + (1-\delta) \alpha \int_{\underline{\theta}}^{\bar{\theta}}\max\bigl\{ V(\theta) - V(d), 0 \bigr\}f(\theta)d\theta \\
&= -d + (1-\delta) \alpha \biggl[ \int_{\underline{\theta}}^{\theta^*}0f(\theta)d\theta + \int_{\theta^*}^{\bar{\theta}} \bigl[ V(\theta) - V(d) \bigr] f(\theta)d\theta\biggr] \\
&= -d + (1-\delta) \alpha \biggl[ \int_{\theta^*}^{\bar{\theta}} \bigl[ V(\theta) - V(d) \bigr] f(\theta)d\theta\biggr] \tag{1-3}
\end{align}
また, (2-2) より
\begin{align}
&[\delta + (1-\delta)s]V(\theta) = \theta + (1-\delta)s V(d) \\
\Leftrightarrow\ & V(\theta) = \frac{\theta + (1-\delta)s V(d)}{\delta + (1-\delta)s}
\end{align}
両辺から $V(d)$ を引くと
\begin{align}
V(\theta) - V(d) = \frac{\theta - \delta V(d)}{\delta + (1-\delta)s} \tag{2-3}
\end{align}
また, (2-2) および $V(\theta ^* ) = V(d)$ より $\theta ^* = \delta V(\theta ^* ) = \delta V(d)$ が成立するので, (1-3) および (2-3) は以下のようにかける :
\begin{align}
\theta ^* &= -d + (1-\delta) \alpha \biggl[ \int_{\theta^*}^{\bar{\theta}} \bigl[ V(\theta) - V(d) \bigr] f(\theta)d\theta\biggr] \tag{1-4} \\
V(\theta) - V(d) &= \frac{\theta - \theta ^* }{\delta + (1-\delta)s} \tag{2-4}
\end{align}
したがって, (2-4) を (1-4) に代入して
\begin{align}
\theta^ * = -d + \frac{(1-\delta)\alpha}{\delta + (1-\delta)s}\int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}(\theta - \theta^*)f(\theta)d\theta \tag{E1}
\end{align}
ここで, 部分積分法より
\begin{align}
\int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}(\theta - \theta^*)f(\theta)d\theta &= \int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}(\theta - \theta^*)F'(\theta)d\theta \\
&= \biggl[ (\theta - \theta ^* ) F(\theta) \biggr]_{\theta ^* }^{\bar{\theta}} - \int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}F(\theta)d\theta \\
&= (\bar{\theta} - \theta^* ) \times 1 - \int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}F(\theta)d\theta \\
&= \int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}\bigl[ 1 - F(\theta) \bigr]d\theta
\end{align}
よってこれを (E1) に代入して
\begin{align}
\theta^ * &= -d + \frac{(1-\delta)\alpha}{\delta + (1-\delta)s}\int_{\theta^* }^{\bar{\theta}}\bigl[ 1 - F(\theta) \bigr]d\theta \\
&\equiv G(\theta^*) \tag{E2}
\end{align}
したがって, この女性の「男性に求める魅力度の下限」は $G(\cdot)$ の不動点として求められることがわかる. したがって, $G(\cdot)$ の関数型を分析する.
\begin{align}
G(\underline{\theta}) &= -d + \underbrace{\frac{(1-\delta)\alpha}{\delta + (1-\delta)s}\int_{\underline{\theta} }^{\bar{\theta}}\bigl[ 1 - F(\theta) \bigr]d\theta}_{>0} > -d \\
\lim_{\theta^* \rightarrow \bar{\theta}}G( \theta^* ) &= -d + \frac{(1-\delta)\alpha}{\delta + (1-\delta)s} \underbrace{\lim_{\theta^* \rightarrow \bar{\theta}}\int_{ \theta^* }^{\bar{\theta}}\bigl[ 1 - F(\theta) \bigr]d\theta}_{ \rightarrow 0 } = -d \\
G'(\theta^* ) &= -\frac{(1-\delta)\alpha}{\delta + (1-\delta)s}[1-F(\theta^* )] <0 \ \ \mathrm{if}\ \ \theta^* \in (\underline{\theta},\bar{\theta}) \\
G''(\theta^* ) &= \frac{(1-\delta)\alpha}{\delta + (1-\delta)s}f(\theta^*) >0 \ \ \mathrm{if}\ \ \theta^* \in (\underline{\theta},\bar{\theta})
\end{align}
よって, (E2) : $\theta^* = G(\theta^*)$ は図示すれば以下のようになる:
したがってこの女性の男性に求める魅力度の下限 $\theta^*$ は一意に定まる. また, $G(\theta)$ は以下の性質を持っていることを確かめることができる :
- $d$ が上昇すれば $G(\cdot)$ は下シフトする.
- $\delta$ が上昇すれば $G(\cdot)$ は下シフトする.
- $s$ が上昇すれば $G(\cdot)$ は下シフトする.
- $\alpha$ が上昇すれば $G(\cdot)$ は上シフトする.
また, 図より $G(\cdot)$ が下シフトすれば理想の下限は下落し, $G(\cdot)$ が上シフトすれば理想の下限は上昇することがわかる.
結果
「理想の下限」は以下のように求められます :
- $d$ が高い人, すなわち「彼氏が居ない状態に強い不満を抱える人」は理想が低くなります. 告白して男性を振ってしまうと次に男性が現れるまで耐えないといけませんが, それが辛いためです.
- $\delta$ が高い人, すなわち「将来よりも現在のことを重視する傾向が強い人」は理想が低くなります. すごく理想的な男性が来るのを願って目の前の相手を振るよりも, 現在幸福になることが相対的に優先されるためです.
- $s$ が高い人, すなわち「付き合っても別れる確率が高い人」は理想が低くなります. どうせすぐに別れてしまうのであれば, すごくいい人と付き合っても幸福度を得られる期間が短いためです.
- $\alpha$ が高い人, すなわち「モテる女性」は理想が高くなります. 目の前の男性を振ったとしても次に男性が現れるまでにそれほど期間を要しないためです.
なんというか、高尚な数学的技術をたくさん使って, 言われてみれば当たり前の結果を得られる数理モデルが完成しました（笑）
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本当は死亡ではなく将来を割り引く度合いである割引因子という概念を用いたかったのですが, 議論が複雑になるため代替的に死亡確率で将来を割り引く度合いを表現しています. ↩
Author And Source
この問題について(【数理モデル】 : ある合理的な女性の「理想の男性」の決定), 我々は、より多くの情報をここで見つけました https://qiita.com/JoanOfArc/items/1df370d78350a15b21e3著者帰属：元の著者の情報は、元のURLに含まれています。著作権は原作者に属する。
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