概論

座標(x,y)は、複素数で $x+jy$ で表すことできる。

$x+jy$ から $\theta$ [rad]回転させるには、 $e^{jθ}$ をかければよい。

$e^{jθ}=cosθ+jsinθ$ である。
また、

\begin{align}
&cosθ+jsinθ　\equiv \;\; 
\end{align}
\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ   \\
sinθ & cosθ
\end{pmatrix}

である。

したがって、
複素数の場合は　$(cosθ+ jsinθ)$　を、
行列の場合は

\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ   \\
sinθ & cosθ
\end{pmatrix}

を用いればよい。

※3次元の場合は、クォータニオン（四元数）や行列を使って回転させる。

虚数単位

$x^2+1=0$を解くと、$x=±\sqrt-1$となる。
この$\sqrt-1$を虚数単位として、jで表す。
$j^2 = -1$となる。

(-1)をかけることは反時計回りに180度回転である。
$j^2 = -1$であるから、jをかけることは反時計回りに90度回転である。
jを使うことで、2次元を扱うことができる。

1に当たる行列

5 × 1 = 5である。

行列の場合で考えると

\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}

である。

ゆえに、次の行列は1に相当する。

\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}

-1に当たる行列

(-1)×1 = (-1)である

行列の場合で考えると

(-1)
\times
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix}

である。

ゆえに、次の行列は(-1)に相当する。

\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix}

jに当たる行列

$j×j = (-1)$である。

行列の場合で考えると

\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix}

である。

ゆえに、次の行列は$j$に相当する。

\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}

複素数

複素数$x+jy$は、$x×1\;+\;y×j$である。

行列で考えると

x
\times
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
+ \; y
\times
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x & -y \\
y & x 
\end{pmatrix}

である。

ゆえに、次の行列は複素数$x+jy$に相当する。

\begin{pmatrix}
x & -y \\
y & x 
\end{pmatrix}

回転の例

例1

$2+j3$ を45度反時計回りに回転させる。

＜計算＞
(1) 45度
180度がπ　[rad]だから、45度は$\frac{4}{π}$ [rad]である。
(2) 回転させる
$(2+j3) \times \; e^{\frac{4}{π}}$
$=\;(2+j3) \times (cos({\frac{4}{π}}) + jsin({\frac{4}{π}}))$
$\fallingdotseq -0.71 + j3.5$

例2

$2+j3$ を60度反時計回りに回転させる。

＜計算＞
(1) 60度
180度がπ　[rad]だから、60度は$\frac{3}{π}$ [rad]である。
(2) 回転させる
$(2+j3) \times \; e^{\frac{3}{π}}$
$=\;(2+j3) \times (cos({\frac{3}{π}}) + jsin({\frac{3}{π}}))$
$\fallingdotseq -1.6 + j3.2$