姿勢解算の基礎知識(二)-回転ベクトル座標変換の四元数記述の検証

姿勢解算の基礎知識(二)-回転ベクトル座標変換の四元数記述の検証
2015-11-14
下の四元数の知識と前編の博文で述べた回転ベクトル座標変換の四元数記述の導出過程を補充する.四元数qは、実数と三次元ベクトルからなる:i,j,kは三次元空間単位ベクトルであり、これらは以下の演算式に従う:四元数の加減演算は複素加減演算に類似し、対応する係数は加減すればよい.四元数間の乗算は多項式の乗算に似ており、q(p 1,p 2,p 3,p 4)にr(u 0,u 1,u 2,u 3)を乗じて行列形式に書くのは、両者が第1行と第1列の核を除去するのは異なることに注意し、四元数の乗算は交換則を満たさない
共役四元数、すなわち実数部分は同じであり、ベクトル部分は逆q*でqの共役四元数を表す.
四元数の範数は4つの要素の二乗和として定義され、範数が1の場合は正規化された四元数と呼ばれる.
四元数記述座標変換を理解するには、上記の知識は十分であり、科学出版社の「慣性デバイスと慣性ナビゲーションシステム」23ページを参照してください.
あるベクトルがO点を通るある軸の周りを反時計回りに1つの角度回転すると仮定するθ,このベクトルに固着された動座標系と参照座標系との間の変換四元数は、

q=cos(θ/2)+sin(θ/2)cosα·i + sin(θ/2)cosβ·j+ sin(θ/2)cosγ·k

一般に四元数の三角形式と呼ばれ、特徴四元数とも呼ばれ、その範数は1であり、ナビゲーションアプリケーションで一般的に適用される四元数はいずれも特徴四元数である.そのスカラー部分cos(θ/2)回転角の半分の余弦値を表し、ベクトル部分は回転軸の方向を表す、α、β、γ回転軸と基準座標系の各軸との挟み角です.
回転ベクトル座標変換の四元数は、r’=qrqまたはr=qr’qの下に回転ベクトル座標変換の四元数記述式の検証過程を示す.