アルゴリズム解析-最大連続サブシーケンス和の問題

問題:
整数A 1,A 2,A 3・・AN(負の数がある可能性がある)を与え,解の最大値を求める.すべての整数が負数である場合、最大連続サブシーケンスの和はゼロです.
例として、｛−2,11,−4,13,−5,2｝が入力されると、答えは20であり、それは2番目から4番目までの連続シーケンスを表す.もう1つの例を挙げると、{1,−3,4,−2,−1,6}と入力され、答えは7であり、このサブシーケンスは最後の4つを含む.
・簡単なO(N 3)アルゴリズム
・改良されたO(N 2)アルゴリズム
・リニアアルゴリズム
Ai,jは任意のサブシーケンスであり,その含む元素はiからj,Si,jはAi,jの和であるとする.
次のような結論が得られます.
1.Ai,jは任意のSi,jの配列であり、q>jであれば、Ai,qは最大連続子配列ではないに違いない.(Si,jの場合、最大連続子配列はAi,jの要素を完全に排除することができ、その後のヒトの非負の要素を最大連続子配列とする)
2.任意のiについて、Ai,jが1つのシーケンスであり、かつSi,jであるとすると、任意のi<=p<=jであり、かつp<=qである場合、Ap,qは最大連続子シーケンスの和ではないか、または既に出現した最大連続子シーケンスに等しいかのいずれかである.
証明は次のとおりです.
p=iの場合、結論1が適用される.そうでなければ,Si,q＝Si,p−1＋Sp,qがある.Si,j,jは最低のアンダースコアであるため,Si,p−1＞＝0である.従って,Sp,q<＝Si,qである.q>jの場合,Ai,qは最大連続子配列ではなく,Sp,q<=Si,qからAp,qも最大連続子配列ではないことが結論1で分かった.q<=jの場合、Ap,qの和は、出現したサブシーケンスAi,qの和と最大で等しい.
以上の2つの結論によれば,最適化された線形アルゴリズムが得られる.

package com.zgy.datastructures.maxsubsequence;

/**
 * 
 * @author yaguanzhou
 * @version 1.0
 * 
 */
public class MaxSubSequence {

	public static int start = 0;
	public static int end = 0;

	public static void main(String[] args) {
		int[] testArray = { 1, -3, 8, 11, -5, 21, 19, -20 };
		int max_n3 = maxSubSequenceSum_N3(testArray);
		System.out.println("     ：" + "   " + (start + 1) + "  " + (end + 1)
				+ "   ,      ：" + max_n3);

		int max_n2 = maxSubSequenceSum_N2(testArray);
		System.out.println("     ：" + "   " + (start + 1) + "  " + (end + 1)
				+ "   ,      ：" + max_n2);

		int max_n1 = maxSubSequenceSum_N1(testArray);
		System.out.println("     ：" + "   " + (start + 1) + "  " + (end + 1)
				+ "   ,      ：" + max_n1);
	}

	/**
	 *           N 3  
	 * 
	 * @param int[] arr
	 * @return maxSum
	 */
	public static int maxSubSequenceSum_N3(int[] arr) {
		int maxSum = 0;//        
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {//               
			for (int j = i; j < arr.length; j++) {//        ，       
				int currentSum = 0;
				for (int k = i; k <= j; k++) {//                     
					currentSum += arr[k];
				}
				if (currentSum > maxSum) {
					maxSum = currentSum;
					start = i;
					end = j;
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}

	/**
	 *           N 2  
	 * 
	 * @param int[] arr
	 * @return maxSum
	 */
	public static int maxSubSequenceSum_N2(int[] arr) {
		int maxSum = 0;//        
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {//               
			int currentSum = 0;
			for (int j = i; j < arr.length; j++) {//        ，       
				currentSum += arr[j];
				if (currentSum > maxSum) {
					maxSum = currentSum;
					start = i;
					end = j;
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}

	/**
	 *           O(N)
	 * 
	 * @param int[] arr
	 * @return maxSum
	 */
	public static int maxSubSequenceSum_N1(int[] arr) {
		int maxSum = 0;//        
		int currentSum = 0;
		for (int i = 0, j = 0; j < arr.length; j++) {//               
			currentSum += arr[j];

			if (currentSum > maxSum) {
				maxSum = currentSum;
				start = i;
				end = j;
			} else if (currentSum < 0) {//         0，        ，      
				i = j + 1;
				currentSum = 0;
			}
		}
		return maxSum;
	}
}

出力:

     ：   3  7   ,      ：54
     ：   3  7   ,      ：54
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