数検1級 (6) 行列式
問題
次の行列式を計算し、因数分解した形で答えなさい。
\begin{vmatrix}
a&a&b&b \\
a&b&a&b \\
a&b&b&a\\
b&a&b&a
\end{vmatrix}
※ (5) の類題
解答
\begin{align}
\begin{vmatrix}
a&a&b&b \\
a&b&a&b \\
a&b&b&a\\
b&a&b&a
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
0&a-b&0&b \\
a-b&b-a&a-b&b \\
a-b&0&b-a&a\\
b-a&a-b&b-a&a
\end{vmatrix}
&& \text{(列1から列2を、列2から列3を、列3から列4を引く)} \\
&=
(a-b)^3
\begin{vmatrix}
0&1&0&b \\
1&-1&1&b \\
1&0&-1&a\\
-1&1&-1&a
\end{vmatrix}
&& \text{(列1, 2, 3 からそれぞれ $(a-b)$ をくくり出す)} \\
&=
-(a-b)^3
\begin{vmatrix}
0&1&0&b \\
1&-1&1&b \\
2&-1&0&a+b\\
0&0&0&a+b
\end{vmatrix}
&& \text{(列3, 4に列2を足す)} \\
&=
-(a-b)^3
\begin{vmatrix}
0&1&b \\
2&-1&a+b\\
0&0&a+b
\end{vmatrix}
&& \text{(列3でラプラス展開)} \\
&=
-(a-b)^3 \cdot (-2(a+b))
&& \text{(サラスの方法)} \\
&= 2(a-b)^3(a+b).
\end{align}
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