ベクトルの積はベクトルじゃないけどLie微分はベクトルになることを愚直に確かめてみた

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ここでいうベクトルは、微分可能多様体上の接ベクトルのことです。接ベクトルについて詳しく書こうとすると微分可能多様体、さらには位相空間の話が必要となり物理出身の自分はしんでしまうので[1]等の教科書を参照してください。

抑えてほしい点は要点はベクトルが座標の偏微分$\partial_\mu$の線形結合 で表され、また座標変換に対して基底と成分が

\begin{align}
    \bar{\partial}_\alpha &= (\bar{\partial}_\alpha x^\mu) \partial_\mu \tag{1}\\
    \bar{V}^\alpha &= (\partial_\mu \bar x^{\alpha}) V^\mu  \tag{2}
\end{align}

と変換することです。

2つのベクトル $X=X^\mu \partial_\mu,\ Y=Y^\mu \partial_\mu $ の積を取ると

\begin{align*}
    XY &= X^\mu \partial_\mu Y^\nu \partial_\nu \\
    &= 
    X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) \partial_\nu 
    + X^\mu Y^\nu \partial_\mu \partial_\nu
\end{align*}

となり、これは接ベクトルとなりません。実際に成分
$X^\mu (\partial_\mu Y^\nu)+X^\mu Y^\nu \partial_\mu$
の変換を見てやると

\begin{align*}
\bar{X}^\alpha (\bar{\partial}_\alpha \bar{Y}^\beta)
+ \bar{X}^\alpha  \bar{Y}^\beta  \bar {\partial}_\alpha 
& = 
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)X^\mu
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu) 
\left(\partial_\nu 
(\partial_\rho \bar{x}^\beta)Y^\rho \right)
+
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)X^\mu
(\partial_\nu \bar{x}^\beta)Y^\nu
(\bar{\partial}_\alpha x^\rho) \partial_\rho
\\
&=
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu)
(\partial_\nu \partial_\rho \bar{x}^\beta)
X^\mu Y^\rho 
+
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu)
( \partial_\rho \bar{x}^\beta)
X^\mu (\partial_\nu Y^\rho) 
\\
&\quad +
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\partial_\nu \bar{x}^\beta)
(\bar{\partial}_\alpha x^\rho)X^\mu Y^\nu \partial_\rho
\\
&=
(\partial_\mu \partial_\rho \bar{x}^\beta)
X^\mu Y^\rho 
+
( \partial_\nu \bar{x}^\beta)
X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) 
+
(\partial_\nu \bar{x}^\beta)
X^\mu Y^\nu \partial_\mu
\end{align*}

となり、第一項が上記の変換則(2)を破っています。

では Lie 微分 $XY-YX$ を考えましょう。これは

\begin{align*}
    XY-YX &= 
    X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) \partial_\nu 
    + X^\mu Y^\nu \partial_\mu \partial_\nu
-    Y^\mu (\partial_\mu X^\nu) \partial_\nu 
    - Y^\mu X^\nu \partial_\mu \partial_\nu
\\
&= 
X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) \partial_\nu
-    Y^\mu (\partial_\mu X^\nu) \partial_\nu 
\end{align*}

と書けます。
成分の変換則を見てやると。

\begin{align*}
\bar{X}^\alpha (\bar{\partial}_\alpha \bar{Y}^\beta)
-\bar{Y}^\alpha (\bar{\partial}_\alpha \bar{X}^\beta)
&=
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu)
(\partial_\nu \partial_\rho \bar{x}^\beta)
X^\mu Y^\rho 
+
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu)
( \partial_\rho \bar{x}^\beta)
X^\mu (\partial_\nu Y^\rho) 
\\
&\quad -
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu)
(\partial_\nu \partial_\rho \bar{x}^\beta)
Y^\mu X^\rho 
+
(\partial_\mu \bar{x}^\alpha)
(\bar{\partial}_\alpha x^\nu)
( \partial_\rho \bar{x}^\beta)
Y^\mu (\partial_\nu X^\rho) 
\\
&=
(\partial_\nu \bar{x}^\beta)
\left(
X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) 
-
Y^\mu (\partial_\mu X^\nu) 
\right)
\end{align*}

となり、ベクトルの成分の変換則を満たします。

参考文献

[1] 理論物理学のための幾何学とトポロジー (Amazonリンク)

チラシの裏

ちゃんと考えてなかったけど。2つのベクトル $X=X^\mu \partial_\mu,\ Y=Y^\mu \partial_\mu $ を使って
$$ X^\mu Y^\nu \partial_\nu \partial_\mu$$
として $X^\mu Y^\nu \partial_\nu $をベクトルの成分とみなすとベクトルの変換則を満たしますね。微分演算子がベクトルの成分となるのはなんか変な気分なんですが……

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