アルゴリズムはとても美しい再帰の基礎です

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さいきそ
1.再帰的に階乗を求める.連続数字3を再帰的に印刷する.配列要素の和4を再帰的に求める.文字列反転5.フィボナッチ数列6.最大公約数7.挿入順序の再帰

public class Main {
     
	public static void main(String[] args) {
     
		//int res=f3(new int[]{1,2,3,4,5},0);
		//System.out.println(res);
		 //System.out.println(reverse("abcd", 3));
		
		//System.out.println(fib(5));
		int[] arr={
     4,3,2,5,0};
		insertSort(arr,4);
		for(int i=0;i<arr.length;i++){
     
			System.out.print(arr[i]+" ");
		}
		 
    }
	/*
	 * f1(n): n   -->f1(n-1) n-1   
	 *    ：n*(n-1)   ， n-1          （    ）——   
	 *    ：          
	 *    ：  
	 * */
	static int f1(int n){
     //       f(n)=n*f(n-1)
		if(n==1)
			return 1;
		return n*f1(n-1);
	}
	
	/*
	 *    ： 
	 *    ：          
	 *    ：  
	 * */
	static void f2(int i,int j){
     //         p(i,j)=p(i)->p(i+1,j)
		if (i>j) {
     
			return;
		}
		System.out.println(i);
		f2(i+1, j);
	}
	
	/*
	 *  arr       
	 *    ： 
	 *    ：          
	 *    ：  
	 * */
	static int f3(int[] arr,int begin){
     //         
		if(begin==arr.length-1){
     
			return arr[begin];
		}
		return arr[begin]+f3(arr, begin+1);
	}
	
	/*
	 *      
	 * */
	static String reverse(String src,int end){
     
		if(end==0){
     
			return ""+src.charAt(0);
		}
		return src.charAt(end)+reverse(src, end-1);
	}
	//       1.     
	/*      ，     ：
	 *    ：   +      
	 *    ：        
	 * */
	static int fib(int n){
     //      f(n)=f(n-1)+f(n-2)
		if(n==1||n==2)
			return 1;
		return fib(n-1)+fib(n-2); 
	}
	/*
	 *       f(m,n)=f(n,m%n)   
	 * m%n=0    n
	 *      
	 * */
	static int gcd(int m,int n){
     
		if(n==0) return m;
		return gcd(n, m%n);
	}
	
	
	/*   0—        
	 *    ：    0~       ，     
	 *                     
	 * */
	static void insertSort(int[] arr,int k){
     
		if(k==0){
     
			return;
		}
		//  k-1     
		insertSort(arr, k-1);
		//   k           
		int x=arr[k];
		int index=k-1;
		while(index>-1&&x<arr[index]){
     
			arr[index+1]=arr[index];
			index--;
		}
		arr[index+1]=x;
	}
	
	
	
	
}

再帰の基礎の小結:(循環は必ず再帰に変えることができて、ただあるのは簡単で、あるのは複雑です)
繰り返しを探す1.区分方法2を見つける.繰返し式または等価変換を見つけるのは、親問題から子問題への変換です.
変化の量の変化の量を探して通常定数とします
出口を見つけ出す
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