HDU2.2.7 Train Problem II
カートランド数の問題ですが、出題者が悪くデータが大きいのでC++の高精度か、JAVAが持参したBigIntegerタイプをそのまま使う必要がありますが、javaは自分では使えないので、高精度を使うしかありません.
カトラン数については、以下のようなプッシュがあります.
h(0)=1,h(1)=1,catalan数を繰返し式を満たすようにする.
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例えば、h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
この繰返し関係はやはりこの問題で理解したほうが分かりやすい.例えば、k台目が最後にスタックを出たと仮定すると、1台目からk-1台目が必ず先にスタックを出て、k+1からn台目もk号車の前にスタックを出て、しかもこの2つの部分がスタックを出る方式は互いに独立している.n台の車にh[n]の方法があると仮定すると、1からk-1号車にはh[k-1]の方法があり、k+1からn号車にはh[n-k]の方法がある.一つの方法では、乗じるとh[k-1]*h[n-k]であり、kを1からnまでのすべての状況を加算すると、繰返し関係が得られる.
別のプッシュ:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
繰返し関係の解は次のとおりです.
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
繰返し関係の別の解釈は、次のとおりです.
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
カトラン数の適用について:
かっこ化
行列連乗:P=a 1×a2×a3×……×an,乗算結合法則に基づいて,その順序を変えずに括弧だけで対の積を表すが,いくつかの括弧化案があるかどうか.(h(n-1)種)
出荷順序
1つのスタック(無限大)のスタックシーケンスは1,2,3,...,nであり、いくつの異なるスタックシーケンスがありますか?
凸多角形三角分割
1つの凸多角形では、互いに交差しない対角線をいくつか通過して、この多角形をいくつかの三角形に分割します.タスクは,キーボードに凸多角形の辺数nを入力し,異なる分割のスキーム数f(n)を求める.例えばn=6の場合、f(6)=14となる.
与えられたノードがツリーを構成する
N個のノードを与えて、何種類の異なる二叉木を構成することができますか?
(構成可能h(N)個)
(この式の下付き文字はh(0)=1から始まる)
この問題では、h[1]=1を知ることができ、次にh(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)を用いる.この式は後の項を導き出せばよい
高精度でネットをサボってテンプレートを探しましたが、自分も1時間かけて書き直しました.大数乗算以外は書いていません.他の感じは理解しやすいです.
MACコードは以下の通りである.
カトラン数については、以下のようなプッシュがあります.
h(0)=1,h(1)=1,catalan数を繰返し式を満たすようにする.
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例えば、h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
この繰返し関係はやはりこの問題で理解したほうが分かりやすい.例えば、k台目が最後にスタックを出たと仮定すると、1台目からk-1台目が必ず先にスタックを出て、k+1からn台目もk号車の前にスタックを出て、しかもこの2つの部分がスタックを出る方式は互いに独立している.n台の車にh[n]の方法があると仮定すると、1からk-1号車にはh[k-1]の方法があり、k+1からn号車にはh[n-k]の方法がある.一つの方法では、乗じるとh[k-1]*h[n-k]であり、kを1からnまでのすべての状況を加算すると、繰返し関係が得られる.
別のプッシュ:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
繰返し関係の解は次のとおりです.
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
繰返し関係の別の解釈は、次のとおりです.
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
カトラン数の適用について:
かっこ化
行列連乗:P=a 1×a2×a3×……×an,乗算結合法則に基づいて,その順序を変えずに括弧だけで対の積を表すが,いくつかの括弧化案があるかどうか.(h(n-1)種)
出荷順序
1つのスタック(無限大)のスタックシーケンスは1,2,3,...,nであり、いくつの異なるスタックシーケンスがありますか?
凸多角形三角分割
1つの凸多角形では、互いに交差しない対角線をいくつか通過して、この多角形をいくつかの三角形に分割します.タスクは,キーボードに凸多角形の辺数nを入力し,異なる分割のスキーム数f(n)を求める.例えばn=6の場合、f(6)=14となる.
与えられたノードがツリーを構成する
N個のノードを与えて、何種類の異なる二叉木を構成することができますか?
(構成可能h(N)個)
(この式の下付き文字はh(0)=1から始まる)
この問題では、h[1]=1を知ることができ、次にh(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)を用いる.この式は後の項を導き出せばよい
高精度でネットをサボってテンプレートを探しましたが、自分も1時間かけて書き直しました.大数乗算以外は書いていません.他の感じは理解しやすいです.
MACコードは以下の通りである.
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4
class BigNum
{
private:
int a[500]; //
int len; //
public:
BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); } //
BigNum(const int); // int
BigNum(const char*); //
BigNum(const BigNum &); //
BigNum &operator=(const BigNum &); // ,
friend istream& operator>>(istream&, BigNum&); //
friend ostream& operator<(const BigNum & T)const; //
bool operator>(const int & t)const; // int
void print(); //
};
BigNum::BigNum(const int b) // int
{
int c,d = b;
len = 0;
memset(a,0,sizeof(a));
while(d > MAXN)
{
c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
d = d / (MAXN + 1);
a[len++] = c;
}
a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s) //
{
int t,k,index,l,i;
memset(a,0,sizeof(a));
l=strlen(s);
len=l/DLEN;
if(l%DLEN)
len++;
index=0;
for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
{
t=0;
k=i-DLEN+1;
if(k<0)
k=0;
for(int j=k;j<=i;j++)
t=t*10+s[j]-'0';
a[index++]=t;
}
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len) //
{
int i;
memset(a,0,sizeof(a));
for(i = 0 ; i < len ; i++)
a[i] = T.a[i];
}
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n) // ,
{
int i;
len = n.len;
memset(a,0,sizeof(a));
for(i = 0 ; i < len ; i++)
a[i] = n.a[i];
return *this;
}
istream& operator>>(istream & in, BigNum & b) //
{
char ch[MAXSIZE*4];
int i = -1;
in>>ch;
int l=strlen(ch);
int count=0,sum=0;
for(i=l-1;i>=0;)
{
sum = 0;
int t=1;
for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
{
sum+=(ch[i]-'0')*t;
}
b.a[count]=sum;
count++;
}
b.len =count++;
return in;
}
ostream& operator<= 0 ; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << b.a[i];
}
return out;
}
BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const //
{
BigNum t(*this);
int i,big; //
big = T.len > len ? T.len : len;
for(i = 0 ; i < big ; i++)
{
t.a[i] +=T.a[i];
if(t.a[i] > MAXN)
{
t.a[i + 1]++;
t.a[i] -=MAXN+1;
}
}
if(t.a[big] != 0)
t.len = big + 1;
else
t.len = big;
return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const //
{
int i,j,big;
bool flag;
BigNum t1,t2;
if(*this>T)
{
t1=*this;
t2=T;
flag=0;
}
else
{
t1=T;
t2=*this;
flag=1;
}
big=t1.len;
for(i = 0 ; i < big ; i++)
{
if(t1.a[i] < t2.a[i])
{
j = i + 1;
while(t1.a[j] == 0)
j++;
t1.a[j--]--;
while(j > i)
t1.a[j--] += MAXN;
t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
}
else
t1.a[i] -= t2.a[i];
}
t1.len = big;
while(t1.a[t1.len - 1] == 0 && t1.len > 1)
{
t1.len--;
big--;
}
if(flag)
t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
return t1;
}
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const //
{
BigNum ret;
int i,j,up;
int temp,temp1;
for(i = 0 ; i < len ; i++)
{
up = 0;
for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
{
temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
if(temp > MAXN)
{
temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
up = temp / (MAXN + 1);
ret.a[i + j] = temp1;
}
else
{
up = 0;
ret.a[i + j] = temp;
}
}
if(up != 0)
ret.a[i + j] = up;
}
ret.len = i + j;
while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const //
{
BigNum ret;
int i,down = 0;
for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
{
ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
}
ret.len = len;
while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const // int
{
int i,d=0;
for (i = len-1; i>=0; i--)
{
d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;
}
return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const // n
{
BigNum t,ret(1);
int i;
if(n<0)
exit(-1);
if(n==0)
return 1;
if(n==1)
return *this;
int m=n;
while(m>1)
{
t=*this;
for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
{
t=t*t;
}
m-=i;
ret=ret*t;
if(m==1)
ret=ret*(*this);
}
return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const //
{
int ln;
if(len > T.len)
return true;
else if(len == T.len)
{
ln = len - 1;
while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
ln--;
if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
return true;
else
return false;
}
else
return false;
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const // int
{
BigNum b(t);
return *this>b;
}
void BigNum::print() //
{
int i;
cout << a[len - 1];
for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << a[i];
}
cout << endl;
}
int main()
{
int n;
BigNum H[101];
H[0]=BigNum(1);
H[1]=BigNum(1);
for(int i=2;i<=100;i++)
H[i]=H[i-1]*BigNum(4*i-2)/(i+1);
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
H[n].print();
}
return 0;
}