指数関数を計算するアルゴリズム

ことばを引く
前の随筆で自然対数を計算する高速アルゴリズムを紹介しました.指数関数を計算するアルゴリズムを見てみましょう.指数関数exはテーラー級数として展開できることを知っています.
この級数は全体実数xに対して収束し,xが零に近づくと収束が速い.
このアルゴリズムを実現するC〓〓手続き
前に述べたexのテーラー級数展開式によれば、以下のC〓手順を書き出してdecimalデータタイプにExp拡張方法を追加することができる.

 1 using System;
 2 
 3 namespace Skyiv.Extensions
 4 {
 5   static class DecimalExtensions
 6   {
 7     static readonly decimal expmax = 66.542129333754749704054283659m;
 8     static readonly int[] mask = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 };
 9     static readonly decimal[] exps =
10     {
11       2.71828182845904523536028747135m, // exp(1)
12       7.38905609893065022723042746058m, // exp(2)
13       54.5981500331442390781102612029m, // exp(4)
14       2980.95798704172827474359209945m, // exp(8)
15       8886110.52050787263676302374078m, // exp(16)
16       78962960182680.6951609780226351m, // exp(32)
17       6235149080811616882909238708.93m  // exp(64)
18     };
19     
20     public static decimal Exp(this decimal x)
21     {
22       if (x > expmax) throw new OverflowException("overflow");
23       if (x < -66) return 0;
24       var n = (int)decimal.Round(x);
25       if (n > 66) n--;
26       decimal z = 1, y = Exponential(x - n);
27       for (int m = (n < 0) ? -n : n, i = 0; i < mask.Length; i++)
28         if ((m & mask[i]) != 0) z *= exps[i];
29       return (n < 0) ? (y / z) : (y * z);
30     }
31     
32     static decimal Exponential(decimal q)
33     { // q (almost) in [ -0.5, 0.5 ]
34       decimal y = 1, t = q;
35       for (var i = 1; t != 0; t *= q / ++i) y += t;
36       return y;
37     }
38   }
39 }

簡単な説明は以下の通りです.

行目のexpmaxの値は、decimal.MaxValueの自然対数の近似値であり、Expメソッドがオーバーフローしているかどうかを検出するために使用される(22行目).

20から30行目のExp拡張方法は、指数関数を計算するために用いられます.

本の方法は、exy=exyという数式を用いて、パラメータxを整数部分nと小数部分x-nに分けて計算する.

整数部分nはまた、1、2、4、8、16、32、64の諸数のうちのいくつかの和に分解され、事前に計算された定数を用いて計算される.

第25行は、e 66.5421をe 67 e-0044579に分解することを防止するためであり、e 67を計算するとオーバーフローする.e 66 e 0.5241に分解します.

第32行から37行のExponential方法は、テイラー級数を用いてexを計算する.そのパラメータqはゼロに近いほど計算が速い.

このアルゴリズムはまだ早いです.35行目のforサイクルの実行回数は22回を超えません.

テストプログラム
以下はdecimalデータタイプのExp拡張方法のテストプログラムです.

 1 using System;
 2 using Skyiv.Extensions;
 3 
 4 class Tester
 5 {
 6   static void Main()
 7   {
 8     try
 9     {
10       foreach (var x in new decimal[] {
11         -100, -66, -65, -1, 0, 1, 2.5m, 16, 66.5421m, 67 })
12         Console.WriteLine("{0,-30}: exp({1})", x.Exp(), x);
13     }
14     catch (Exception ex) { Console.WriteLine(ex.Message); }
15   }
16 }

運転結果は以下の通りです.

work$ dmcs Tester.cs DecimalExtensions.cs
work$ mono Tester.exe
0                             : exp(-100)
0.0000000000000000000000000000: exp(-66)
0.0000000000000000000000000001: exp(-65)
0.3678794411714423215955237702: exp(-1)
1                             : exp(0)
2.7182818284590452353602874714: exp(1)
12.182493960703473438070175950: exp(2.5)
8886110.520507872636763023741 : exp(16)
79225838488862236701995526357 : exp(66.5421)
overflow

e 67の計算でオーバーフローが発見されたことが分かる.なぜなら、

decimal.MaxValue=79,228,162,514,264,337,593,543,950,335,

e 67=125,236,317,084,221,378,051,352,196,0704.3657675348274…

e 67は既にdecimalの最大値を超えていることが分かる.
事前に計算した定数
Decimal Extens.csプログラムの9行目から18行目のexpsスタティック読み取り専用配列には、e 1、e 2、e 4、e 8、e 16、e 32、e 64の値が格納されている.これらの値はどうやって得られますか?これは簡単です.Linuxオペレーティングシステムに高精度計算機bcがあります.まず次のような内容のテキストファイルを編集できます.i.txt:

scale=30
e(1)
e(2)
e(4)
e(8)
e(16)
e(32)
e(64)
l(2^96-1)
quit

上のeはexpを代表して、lはlnを代表して、296-1はdecimal.MaxValueです.次のコマンドを実行します.

work$ bc -l exps_in.txt > exps_out.txt

下記の内容の出力exps_を得ることができます.out.txt:

2.718281828459045235360287471352
7.389056098930650227230427460575
54.598150033144239078110261202860
2980.957987041728274743592099452888
8886110.520507872636763023740781450350
78962960182680.695160978022635108224219956195
6235149080811616882909238708.928469744831391846235799914388
66.542129333754749704054283659972

ちょっと整理すれば上のC〓のプログラムに使えます.

の前の7行はeの各乗です.

最後の行はdecimal.MaxValueの自然対数です.

参考資料

Wikipedia:Exponential function

Wikipedia:Taylor series

Linux man pages:bc-An arbitrary precision callator lagge