はじめに

前回の記事では、実数値遺伝的アルゴリズム(以下、実数値GA)を用いて大域的最適解の探索を行いました。

ディープラーニングの重み最適化手法としては誤差逆伝搬法(BP法)が主流ですが、時代に逆行して？(※)ニューラルネットの重みを実数値GAで最適化してみます(以下、NNGA(たぶん正式名称ではない))。
今回のお題は、NNGAがちゃんと実装されているか確認する意味で関数近似です。

※そもそもBP法だと局所解にはまりやすいので、NNGAなどの色々なニューラルネット重み最適化手法が生まれたのですが、BP法も改良されてそこに落ち着いたみたいですね。

[2019/8/21追記] 正式名称は、Neuroevolutionらしいです。いつの間にか、こんなかっこいい名前が付いていた

関数近似

近似する関数は2次元のRosenBrock関数です。
RosenBrock関数の特徴。
- 単峰性関数
- 探索範囲：-2.048～2.048
- 大域的最適解 ： =0 、(x[i] = 1)
- 数式 ： ニューラルネットの重みを大きくしなくてもすむように、通常のRosenBrockを3500で割っています。

f(x_{1} \cdots x_{n-1})=\sum_{i=1}^{n}(100(x_{i+1}-x_{i}^2)^2+(x_{i}-1)^2) / 3500

• 2次元のグラフ

ニューラルネットの構成

3層のニューラルネットを用いました。
- 入力層 ：2ニューロン
- 隠れ層 ：10ニューロン (活性化関数：シグモイド関数)
- 出力層 ：1ニューロン (活性化関数：なし)

実数値GAの構成

• 世代交代モデル：MGG
  • 世代交代数：2個体(エリート選択：1個体、ルーレット選択：1個体)
  • 致死個体(任意のパラメータが探索範囲を超えた個体) への対応：評価対象から外す
• 交叉法：UNDX (α=0.5、β=0.35)
• 学習パラメータ
  • 最大世代数：5000世代
  • 集団数：50個体
  • 生成子個体数: 100個体/世代
• 各世代での入力サンプリング数：RosenBrock関数の探索範囲の中から各世代ランダムで50点選択
• 損失関数(=GAの適合度)：2乗和誤差。サンプリング数50個の和になります。

E = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{50} (y_k - t_k)^2

$y_k$:ニューラルネットワークの出力、$t_k$:訓練データ(サンプリングした点をRosenBrock関数の入力としたときの出力)です。

学習結果

0世代の近似グラフ	5000世代の近似グラフ	適合度遷移

$x[0]=-2,x[1]=-2やx[0]=2,y[1]=-2$付近では正解から0.6程度ずれてしまっていますが、全体的な関数の形状は実際のRosenBrock関数に近い形になっているのではないでしょうか。

補足

隠れ層の活性化関数をシグモイド関数からReLU関数に変えた場合は、以下のようになります。
適合度はシグモイド関数より良好な結果ですが、平らでこれじゃない感が。。。
ReLU関数は$x>=0$だけで見れば、線形なので層が少ないと表現能力が低いかな？

0世代の近似グラフ	5000世代の近似グラフ	適合度遷移

次回予告

モデルを強化学習にも適用できるのがNNGAのいいところ！ということで、倒立振子に挑戦してみたいと思います。