フィルタとエッジ検出についての新たな発見 New Findings about Filters and Edge Detection

少しラプラシアンフィルタについて勉強していたら、面白いことを発見した。
ラプラシアンフィルタは画像のエッジ検出を行うフィルタである。これをカーネルで表すと、Aで表される。ここで$A + B = I$ となるような行列を求める。ちなみに$I$は単位行列である。

A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & -4 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}

Bを求めると下記のようになるが、一般的にAが画像のエッジ検出で使われたら、Bは元の画像に近いものをアウトプットする。

B=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\\
-1 & 5 & -1\\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}

下がカーネルにAを使った時のアウトプットである。

下がAの代わりにBを使った時のアウトプットである。

これはラプラシアンフィルタにだけ言えるのでなく、他のフィルタにも応用がきくと思われる。