はじめに

@koteko と申します。初めてのアドベントカレンダー参加で緊張しております。
この記事は MATLAB/Simulink Advent Calendar 2020 の 12/10 担当記事です！
前日(12/9)の記事は @yamori813 さんによる「ThingSpeakでInternet of Test」です。

私は数か月ほど前から、研究のためにMATLABを使用する機会がありまして、折角なので何か学びを残そうと思う矢先に、こちらのアドベントカレンダーが企画されていることを知ったため、意を決して参加させていただいた運びとなります。

今回この記事では、「アフィン変換」について書きます。
(数学は専門でないため、厳密であることよりおおよそのイメージを伝えるものであることをご了承ください。)

アフィン変換とは？

1行まとめ

アフィン変換とは、線形変換（回転、拡大縮小、せん断）と平行移動の組み合わせである。

詳解

そもそも「アフィン変換」という言葉に聞き覚えのある方はあまり多くはないでしょう。アフィン変換とは何なのでしょうか？ひとまずwikipediaを見てみましょう。

幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。
始域と終域が同じであるようなアフィン写像はアフィン変換（アフィンへんかん、英語: affine transformation）と呼ばれる。アフィン写像はアフィン空間の構造を保つ。

アフィン写像 - Wikipedia

何やら小難しいことが書いてあります。わかるようなわからないような…。もう少し見てみましょう。

一般に、アフィン変換は線型変換（回転、拡大縮小、剪断（せん断））と平行移動の組み合わせである。いくつかの線型変換の組合せは一つの線型変換として得られるから、アフィン変換は一般に
$x\mapsto Ax+b$
の形で書けるもので尽くされる。有限次元の場合には、アフィン変換は適当な性質を満たす行列 A とベクトル b を用いて表すことができる。

アフィン変換とは回転、拡大縮小、せん断という線形変換と、平行移動の組み合わせのことのようですね。また、行列を多少知る人にはイメージのしやすいような式が出てきました。

行列を学んだことのある人にとっては、以下の式で2次元座標の回転が行われることはなじみがあると思います。
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
アフィン変換の例としてこうした演算をイメージしてください。

アフィン変換の何が嬉しいか

1行まとめ

線形変換である。（変換が合成できる。）

詳解

前項で軽くスルーしていましたが、

一般に、アフィン変換は線型変換と平行移動の組み合わせである。いくつかの線型変換の組合せは一つの線型変換として得られる...

とあります。線形変換とは何でしょうか？教科書的な定義で行くと

$ V $ と $ W $ とを同じ体 $ 𝔽 $ の上のベクトル空間とする。$ V $ から $ W $ への写像 $ f $ が、任意のベクトル $ x, y ∈ V $ と任意のスカラー $ c ∈ 𝔽 $ に対し、
加法性: $ f(x + y) = f(x) + f(y), $
斉一次性: $ f(cx) = cf (x) $
をともに満たすとき、$ f $ を $ 𝔽 $ 上の線型写像 または簡単に $ 𝔽 $-線型写像という。

線型写像 - Wikipedia

という定義がされています。ここでは扱いやすい変換なんだ、というくらいの認識で大丈夫です。
大事なのは線形変換のもつ以下の性質です。

$ f: V → W $ および $ g: W → X $ が線型ならば、その合成 $ g ∘ f $ は $ V $ から $ X $ への線型写像を定める。

一般化されているのでこれだけ読んでもわかりにくいかもしれません。具体的に考えてみましょう。

例えば、2次元空間において「x方向に2倍拡大する」変換 $f$ と「30度回転する」変換 $g$ を考えてみます(これらはアフィン変換です)。
$f$ は座標を座標に移し、$g$ もまた同様です。つまり、$V$だとか$W$だとか$X$とかはすべて同じで、座標(実数空間)です。
このとき、「x方向に2倍拡大し、それから30度回転する」という変換 $g ∘ f$ もまた座標を座標に移す線形変換である、ということです。

これが成り立つということは、「拡大して回転して縮小して…」という変換が「拡大する」「回転する」「縮小する」…といった個別の変換の合成から考えることができるということであり、また、いくらでもつなげられるということを意味します。
ただし、これらの変換が可換でない(順番を入れ替えたら結果が同じとは限らない)ことに注意が必要です。これは行列の積が可換でないことからも感じ取れると思います。

まとめると、アフィン変換は線形変換であり、合成が考えられる点が嬉しい点です。

…というのは少し説明不足です。
アフィン変換とは「線型変換と平行移動の組み合わせ」と言っているのだから、平行移動の部分にも触れなければなりません。

わざわざ分けて書かれているように、実は平行移動という操作は線形変換ではありません。
それではアフィン変換も非線形変換なのでは？と思うのが自然ですが、アフィン変換ではこの平行移動を上手く扱って線形性を保った変換になっています。

2次元の例で解説します。
ある点 $(x,y)$ を $(x',y')$ に移す平行移動を伴う変換を表す式は以下のようになります。
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} $$
これは連立方程式の形に書き直すと以下のようになります。
$$ x' = a_{11}x + a_{12}y + x_0 \\ y'= a_{21}x + a_{22}y + y_0 $$
ここに余分な次元を追加することで以下のような行列に書き直すことができます。
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & x_0 \\ a_{21} & a_{22} & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} $$
これによって、変換が線形変換とみなせるより大きな空間の部分集合としてもとの空間を考えています。この部分は難しいので、実装上は「平行移動を扱う余分な1次元があるんだな」という点だけ頭に入れておけばよいでしょう。

この概念について、友人に教示してもらった際にわかりやすかった図を以下に引用します。

こういう感じで。 pic.twitter.com/mavA1pzeDH

— Ziphil the Rabicat 🐱🐰 (@Ziphil) November 8, 2020

img = imread('arrow.png');

% x方向に2倍
mat1=[
    2 0 0
    0 1 0
    0 0 1
    ];

% y方向に3倍
mat2=[
    1 0 0
    0 3 0
    0 0 1
    ];

% 60度回転
mat3=[
    cosd(60) -sind(60) 0
    sind(60) cosd(60) 0
    0 0 1
    ];

matrix=mat1*mat2*mat3;
tform=affine2d(matrix);
img_trans=imwarp(img,tform);

imshowpair(img,img_trans,'blend')

% 画像読み込み
img1 = imread('arrow1.png');
img2 = imread('arrow2.png');

% コントロールポイントの設定
[mp,fp] = cpselect(img2,img1,'Wait',true);

% 変換行列の導出
tform=fitgeotrans(mp,fp,'projective');

% レジストレーション
registered=imwarp(img2,tform);

% 結果表示
imshowpair(img1,registered,'montage')

img = imread('arrow1.png');

% x,y方向に+500移動
matrix=[
    1 0 0
    0 1 0
    500 500 1
    ];

ref=imref2d(size(img));
tform=affine2d(matrix);
[img_trans,ref_trans]=imwarp(img,tform);

imshow(img_trans,ref_trans)