フーリエ変換に関するメモ

• 授業で習ったことをまとめるメモ

線形代数のおさらい

1. n次元の空間は、n個の基底ベクトルで表される

下の図の場合、2次元平面上の任意の点P$(\vec{r})$は、２つの基底ベクトル　$\vec{a}, \vec{b}$　の線型結合で表される
$$\vec{r} = c_1 \vec{a} + c_2 \vec{b}$$

(http://web1.kcg.edu/~k_emi/math/LA/chap1/LA112.htm )
一般には、
$$\vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_n}$$ を基底ベクトルとすると、
$$\vec{r} = c_1 \vec{e_1} + c_2 \vec{e_2} + \cdots + c_n \vec{e_n}$$
と表される.　ここで、$$c_1, c_2, \cdots, c_n$$は、各基底ベクトルの”重み付け”と考えることができる.

2. ベクトルの内積

２つの複素n次元ベクトル
$$\vec{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n), \vec{b} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)\in \mathbb{C}$$ の内積は、

\begin{align}
\vec{a}\cdot\vec{b} &= |a|\, |b|\cos\theta \\
      &= a_1b_1^{*} + a_2b_2^{*}+ \cdots+a_nb_n^{*}
\end{align}

特に、
$$\vec{a}\cdot\vec{b} =0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \perp \vec{b}$$

3. 連続関数 f(x), g(x) の内積

連続関数 $f(x), g(x)$ の内積は、
$$\int^{\infty}_{-\infty}f(x)\ g(x)^{*}\ dx$$

4. 正規直交基底

基底のとり方のうち、”大きさが１”　かつ　”互いに直交”しているものを正規直交基底という

例）デカルト座標系

(https://imagingsolution.net/math/orthonormal_basis/ ）

上図では、

e_1 =
\left(
    \begin{array}{c}
      1 \\
      0 \\

    \end{array}
  \right),\ \  e_2 =
\left(
    \begin{array}{c}
      0 \\
      1 \\

    \end{array}
  \right)

が正規直交基底ベクトルである.

5. 正規直交基底に対する基底変換

$$\vec{r} = c_1 \vec{e_1} + c_2 \vec{e_2}$$
において、”重み付け”　$c_1, c_2$　は、
$$\vec{r}\cdot\vec{e_1}=c_1\ \vec{e_1}\cdot\vec{e_1}+c_2\ \vec{e_2}\cdot\vec{e_1} = c_1$$$$\vec{r}\cdot\vec{e_2}=c_1\ \vec{e_1}\cdot\vec{e_2}+c_2\ \vec{e_2}\cdot\vec{e_2} = c_2$$
で求められる.

フーリエ変換とは？

一般の関数 $f(t)$ について、$f(t)$ を、
$$”重み付け”をF(\omega)、基底を\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}$$
の無限次元の線型結合として表すと、$$f(t)=\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right)^{*} d\omega$$と表せる.

この”重み付け”$F(\omega)$を求める操作のことをフーリエ変換という.

ここで、上記の　5. 正規直交基底に対する基底変換　を利用すると、

$F(\omega)$（重み付け）を求めるには、$f(t)$と基底の内積をとれば良いので、

\begin{align}
F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right)^{*} dt
\end{align}

これをフーリエ変換という.

まとめ

$$フーリエ変換：　F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right)^{*} dt$$

$$逆フーリエ変換：　f(t) = \int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\omega t}\right) d\omega$$