１．この記事でまとめたいこと

2つの母集団から無作為に標本を抽出し，その標本から母平均に差があるかの検定を行う方法。
絵でいうと下記。

２．まとめた背景

参考書などで勉強していたところ，母分散の前提として下記3つのケースの検定が出てきた。

• 母分散既知
• 母分散未知　ただし，${\sigma_X }^2 ={\sigma_Y }^2$
• 母分散未知　・・・Welchのt検定

それぞれのケースで，新たに定義する確率変数や，その確率変数が従う分布（標準正規分布/t分布）が異なっており，覚えられなかった。
基本となる出発点と，3つのケースの対比という見方をすれば，理解できそうなのでまとめた。

３．基本となる出発点

母平均の差の検定をするには，標本平均の差（$\bar{X} -\bar{Y}$）から求められそうなことはわかる。
そこで，確率変数$\bar{X} -\bar{Y}$の分布を考えると，下記となる。

• 分布：正規分布・・・X,Yそれぞれ正規分布なので
• 平均：$\mu_X -\mu_Y$・・・確率変数から自明
• 分散：$\frac{{\sigma_X }^2 }{m}+\frac{{\sigma_Y }^2 }{n}$・・・XとYは独立のため，分散はそれぞれの和になる

つまり，下記確率変数Tを定義して，確率変数$\bar{X} -\bar{Y}$を標準化すると，Tは標準正規分布N(0,1)に従う。

T=\frac{\left(\bar{X} -\bar{Y} \right)-\left(\mu_X -\mu_Y \right)}{\sqrt{\frac{{\sigma_X }^2 }{m}+\frac{{\sigma_Y }^2 }{n}}}

なお，ココの導出はモーメント母関数を使用することでも可能。マセマ出版社の参考書 P.201参照
この確率変数Tを念頭に置くと，3つのケースがすっと頭に入ると思う。

４．3つのケースで考えると

それぞれのケースの対比を取って考えると，下図のようにまとめることができる。

ポイントとしてはこのあたりだと思う。

• ①～⑤の流れは全て共通
• ②で帰無仮説（$\mu_X =\mu_Y$）を前提とするため，確率変数から$\mu_X -\mu_Y$は消える
• 母分散未知のケースは母分散を不偏分散的なもので代用するため，確率変数はt分布に従う※

※の部分は，別記事の★2参照

５．参考文献

・マセマ出版社　統計学キャンパス・ゼミ 改訂5　P.200-211
https://www.mathema.jp/product/統計学キャンパス・ゼミ-改訂5/

・ヨビノリ　確率統計　推定・検定入門
https://www.youtube.com/playlist?list=PLDJfzGjtVLHmx7qMP410-9gx0weC9d90X