Playgroundでマンデルブロ集合とジュリア集合を描いてみた

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Playgroundでマンデルブロ集合とジュリア集合を描いてみた

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動機

Playgroundを使ってプロトタイプして時に、いろいろ調べていて見つけたPlaygroundの紹介記事でマンデルブロ集合のデモをしていた。

演算子オーバーロード、PlaygroundのAnimation確認等、いろいろ試したいことがあって、ちょうど良い題材だった。

フラクタル図形を描いたり、複素数でぐにゅぐにょしたかった。

マンデルブロ集合(Mandelbrot Set)

マンデルブロ集合の定義

 z_{k}, c \in \mathbb{C} \\
    \begin{cases}
    z_{0} = 0 \\
    z_{k+1} = z_{k}^{2} + c 
    \end{cases}

とした時、$k$ を大きくしても $ \infty $ に発散しない( $\lim_{k \rightarrow \infty } |z_{k}| = \infty $ とならないような)$c$ の集合をマンデルブロ集合といい、複素平面を見てみるとフラクタル図形となっている。

マンデルブロ集合の計算方法

適当に$k$をインクリメントしていき、$N$ 回反復して、
発散しない$c$ をマンデルブロ集合と判断する。
$ |z| > 2 $となれば$\infty$ に発散することが保証されているので、その時点で反復を打ち切って、マンデルブロ集合の要素ではないと判断する。

また、マンデルブロ集合の要素か否かを求までのはやさ(反復回数)で色分けをしたり、漸化式をいろいろ変えてやってアニメーションするといい感じになる。

例えば、$ z_{k+1} = z_{k}^{n} + c $ として $ n $ をいろいろ変えるとこんな感じ

ジュリア集合(Julia Set)

マンデルブロ集合と似ているが、

 z_{k}, c \in \mathbb{C} \\
    z_{k+1} = z_{k}^{2} + c

$ \lim_{k \rightarrow \infty } |z_{k}| = \infty $ とならないような$ z_{0} $ の集合がジュリア集合。

計算方法とかもマンデルブロ集合とほぼ同じ。
これもいろいろ漸化式を変えてみると面白い。

もう少し厳密な定義等はググってください。

コーディング

元ネタ記事においてあるhttp://developer.apple.com/swift/blog/downloads/Mandelbrot.zipがベースなので詳細は省略します。上のリンクのものは、Xcode6.3の時のものなのでXcode7.xだとそのままでは動かせないと思います。

図形の描画

複素平面の座標系(下方向が虚数軸の負)とビューの座標系(下方向がy軸の正)を変換するメソッドを作っとく。図を書いてごにょごにょすればこんな感じになっている。

public func viewCoordToComplexCoord(x x: Double, y: Double, rect: CGRect, rectScale: Double = 1.0) -> Complex {
        let Co = self.topLeft, Cn = self.bottomRight - Co
        let W = Double(rect.size.width) * rectScale, H = Double(rect.size.height) * rectScale
        let cx = Re(Co) + x * Re(Cn)/W
        let cy = Im(Co) + y * Im(Cn)/H
        return Complex(cx, cy)
}

UIViewを継承し、drawRectでフレームの適当な間隔の座標をとってきて、漸化式を計算し集合に含まれるかどうかを判断しUIColor.set()で色をつけて、UIBezierPath(rect:).fill()で塗りつぶす。

func drawJuliaSet(rect : CGRect) {
    let width = Double(rect.size.width), height = Double(rect.size.height)
    for x in 0.stride(through: width, by: self.block) {
        for y in 0.stride(through: height, by: self.block) {
            let z0 = self.complexRect.viewCoordToComplexCoord(x: x, y: y, rect: rect, rectScale: self.rectScale)
            //反復回数に応じたUIColor
            self.computeJuliaSetPoint(z0).set()
            UIBezierPath(rect: CGRect(x: x, y: y, width: self.block, height: self.block)).fill()
        }
    }
}

Playgroundでのアニメーションの確認

最近変わったみたいですが、XCPlaygroundPage.currentPage.liveViewにビューを設定するとタイムラインに表示されるようになります。
UIImageViewをanimated gifみたいにしたい場合は、UIImageViewのanimationImagesにUIImageを入れて,startAnimating()すれば良いです。

import XCPlayground
//...
XCPlaygroundPage.currentPage.needsIndefiniteExecution = true
let iv = UIImageView(frame: rect)
XCPlaygroundPage.currentPage.liveView = iv
iv.animationImages = imgs
iv.animationDuration = 1.0
iv.animationRepeatCount = 0
iv.startAnimating()

タイムラインを表示するには、Xcodeの[View][Assistant Editor]で表示します。(右上のベン図みたいなアイコンのボタンでもいい)。Contents.swiftを表示している状態で右側のUtility Areaを見るとShow Timelineというチェックボックスがあるのでチェックする。
Assistant Editorの表示をTimelineにすればXCPlaygroundPage.currentPage.liveViewに設定されているViewのアニメーションを確認できる。

Animationが目的じゃなきゃパラメータを変えてループさせるだけで、右側のビューで見えるのでliveViewは不要かもね。

それにしても、やっぱりフレームをでかくすると遅いな...

Xcode7.1.1
➜  ~  swift --version
Apple Swift version 2.1 (swiftlang-700.1.101.6 clang-700.1.76)
Target: x86_64-apple-darwin15.0.0

参考