量子アニーリングの基礎　

西森 秀稔, 大関 真之, 共立出版, 2018

https://www.amazon.co.jp/dp/4320035380

『量子アニーリングの基礎』正誤表 (西森秀稔・大関真之 著)　2019年6月20日更新
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/3037.pdf

p.30
3.4 ブラケットによる表記の簡略化

ブラ・ケットという演算子が出て来る。

p.28
3.2 重ね合わせの行列表現

\tag{3.3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 
. \qquad  
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
0 \\
1  
\end{pmatrix} 
=
-1
\begin{pmatrix}
0  \\
1  
\end{pmatrix} 

量子力学独特の記号（ディラックのブラケット）を導入して、式を簡単に表す方法を見てみよう

\begin{pmatrix}
1  \\
0  
\end{pmatrix} 

は上向きスピンを表しているから $|\uparrow>$

\begin{pmatrix}
0  \\
1  
\end{pmatrix} 

は下向きスピンを表しているから$|\downarrow>$ とかくことにすれば、式(3.3)は簡単に

\tag{3.10}
{\sigma}^z|\uparrow > =|\uparrow >  . \qquad  {\sigma}^z|\downarrow > = |\downarrow > 

と書ける。

p.31

左に縦線"|"、右に”>” で状態を表す記号を囲んだ $|\uparrow>$という記号はケット（あるいはケットベクトル）と呼ばれる。ケットというのは、かっこを意味するブラケットの後半だけをとった用語で、量子力学のディラックによる命名である。左半分をとった$<\uparrow|$はブラケットの前半をとってブラと呼ばれる。線形代数の用語でいえば$<\uparrow|$は$|\uparrow>$を転置して複素共役をとった横ベクトルである。ブラケット記号の利点の一つは内積の表記が簡単になる点にある。たとえば、規格化された状態ベクトル $|\uparrow>$のそれ自身との内積は

\tag{3.13}
<\uparrow|\uparrow >=1 

と書くことができる。一般に２つの状態ベクトル|a>と|b>の内積は＜a|b＞である。

なかなか分かりにくい

解析力学・量子論. 須藤靖

https://www.amazon.co.jp/product-reviews/4130626108/

p.172
12.2 双対空間とブラ・ケット

p.173

双対空間と聞くと難しそうだが、デカルト座標の場合を考えればイメージがわきやすい。ケットを縦ベクトル、ブラを横ベクトルに対応させればよいのである。

\tag{12.2.1}
|\psi> = \begin{pmatrix}
a  \\
b  \\
c  \\
\cdots
\end{pmatrix}, 
<\psi| = (a^*, b^*, c^*, \cdots) 

この場合それらの内積：

\tag{12.2.2}
<\psi|\psi> =(a^*, b^*, c^*,\cdots) \begin{pmatrix}
a  \\
b  \\
c  \\
\cdots
\end{pmatrix} = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + \cdots

が $|\psi>$のノルムを与えることもすぐわかる。

すぐわかるかどうかは別にして、ブラ・ケットは縦ベクトル、横ベクトルで考えることにする。

第 9 章 ブラケットによる表記法 東京工業大学境界領域基礎物理学講座　武藤

量子力学第一　平成２２年度　学部　４学期
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/

第 10 章 ブラケットによる表記法(1)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap10.pdf

第 11 章 ブラケットによる表記法(2)
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap10.pdf

24. 量子論におけるブラ・ケット表記　山﨑 勝義

文献
1. 霜田光一，岩澤 宏，神谷武志 訳「レーザ物理」丸善 (1978年), 第6章 (原著:M. Sargent III, M. O. Scully, W. E. Lamb, Jr., Laser Physics, Addison Wesley, Reading (MA), 1974)
2. 小出昭一郎，田村二郎 訳「メシア 量子力学」東京図書 (1971年), 第7章 (原著:A.
Messiah, Mécanique Quantique, Dunod, Paris, 1959)
3. 菅野卓雄，多田邦雄，神谷武志 訳「基礎量子力学」丸善 (1973年)，第6, 7章 (原著:R.
L. White, Basic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1966)
4. 小出昭一郎「量子力学(I)」裳華房 (1969年)，第6章
5. (a) 伊藤伸泰，早野龍五 監訳「グライナー 量子力学」シュプリンガー・フェアラーク東
京，1991年(初版) (英語版原著:W. Greiner, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1989.)
(b) 伊藤伸泰，早野龍五 監訳「量子力学 概論」シュプリンガー・ジャパン，2011年(新 装版) および 伊藤伸泰，早野龍五 監訳「量子力学 概論」 丸善出版，2012年(新装版) (英語版原著:W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1994.)
(c) 英語版:W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, 4th ed., Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 2000.
6. 桜井捷海「コンピュータで学ぶ 量子力学[基礎編]」裳華房 (1992年), 第1章第7節
7. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd ed., Springer Science+Business Media, New
York, 1994, Chap. 1
8. 佐藤正次，永井 治「基礎課程 線形代数学」学術図書出版 (1976年)，第3章 9. 「「成分」と「基底」の変換の相違点」漁火書店 (URL は下記)
http://home.hiroshima-u.ac.jp/kyam/pages/results/monograph/Ref02_matrix43W.pdf

参考資料(reference)

ブラケット記法の使い方 (具体例付)　理数アラカルト　最終更新 2018年 12月22日
https://risalc.info/src/q-bra-ket-notation.html

ベクトル、関数、行列、演算子のブラケット表示　岡本良治
http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/quantum/bracket-text060313.pdf

量子力学の Tips ~座標表示と運動量表示について~　KENZOU 2008年5月24日
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/x-p.pdf

　量子アニーリングの数理　東京工業大学 大学院理工学研究科 物性物理学専攻 西森 秀稔
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/189516/1/bussei_el_033203.pdf

Qiitaの数式チートシート
https://qiita.com/PlanetMeron/items/63ac58898541cbe81ada

amsmathの数式環境まとめ
https://qiita.com/t_kemmochi/items/a4c390b4967b13f3afb7

参考記法

利用記法

\qquad

\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
\tag{3.3}

未解決

{\hat{\sigma}}^z

がうまく表示しない。ハットとZが重なる。

${\hat{\sigma}}^z$

文書履歴(document history)

ver. 0.01 初稿　20190920 朝
ver. 0.02 未解決表記追記　20190920　午前
ver. 0.02 誤植訂正　20190920　昼
ver. 0.03 タグ追記 20210524