信号処理に関する公式集

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信号処理 公式 公式 テキストリンク

自分用の備忘録です。せっかくなので公開します。間違っていたら教えてください。

Fourier級数展開

三角関数

x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos (\frac{2\pi k t}{T}) + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \sin (\frac{2\pi k t}{T})

a_0 = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) dt\\
a_k = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \cos (\frac{2\pi k t}{T}) dt\\
a_k = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \sin (\frac{2\pi k t}{T}) dt

複素指数関数

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(j\frac{2\pi kt}{T})\\

c_k = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) \exp(-j\frac{2\pi kt}{T}) dt

Parsevalの等式

\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = T \sum_{k=-\infty}^{\infty} |X_k|^2

Fourier変換

X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-j\omega t) dt\\
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} W(\omega) \exp(j\omega t) d\omega

離散時間Fourier変換

X(\Omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \exp(-j\Omega n)\\
x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\Omega) \exp (j\Omega n) d\Omega

離散Fourier変換

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \exp(-j\frac{2\pi kn}{N})\\
x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \exp(j\frac{2\pi kn}{N})

z変換

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}\\
x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz

連続時間線形時不変システム

安定性

(1) BIBO安定
(2) インパルス応答が絶対可積分
(3) プロパーで、極が左半平面にある（虚軸を含まない）

離散時間線形時不変システム

安定性

因果的離散時間線形時不変システムについて、次は同値

(1) BIBO安定
(2) インパルス応答が絶対総和可能
(3) 伝達関数のすべての極が単位円内

零点

最小位相システム

零点すべてが単位円内にある

最大位相システム

零点すべてが単位円外にある

線形位相システム

零点が単位円に関して鏡像配置

全域通過システム

極すべてが単位円内にある
零点すべてが単位円に関して極と鏡像の位置にある
振幅応答が１

離散化

インパルス不変変換

伝達関数を部分分数分解してから

\frac{\beta}{s-\alpha} \rightarrow \frac{T\beta}{1-\exp(\alpha T) z^{-1}}

双線形変換

s \rightarrow \frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}