マルチアウトレット最短パスアルゴリズム

最短パスの問題

最短パスアルゴリズムとは、最短パスを検索するアルゴリズムです.
諸問題の状況.
1つのポイントから別のポイントへの最短パス
1つのポイントから別のポイントへの最短パス
すべてのポイントから他のすべてのポイントへの最短パス
各ポイントは、ノードによって接続された直線としてグラフィックに表示されます.

マルチ出口最短パスアルゴリズムの概要

特定のノードから他のすべてのノードへの最短パスの計算
複数の最短パスアルゴリズムは、負の幹線がない場合に正常に動作します.
いずれの場合も、最もコストの低いノードを選択して任意のプロセスを繰り返します.

複数の最短パスアルゴリズムの実行プロセス

構成

開始ノード

最短距離テーブル初期化

未アクセスのノードから最短距離のノード

を選択する.

ノードを介して他のノードへのコストを計算する、最短距離テーブル

を更新する.

3番と4番を繰り返します.
アルゴリズムの動作と性において,最短距離テーブルは,これまでの各ノードの最短距離情報を持つ.
処理中により短いパスが見つかった場合、そのパスは最も短いパスに更新されます.

マルチアウトプットアルゴリズムの特徴

グリディアルゴリズム:いずれの場合も、アクセスしたことのない最もコストの低いノードを選択し、任意のプロセスを繰り返します.
ステップ処理されたノードの最短距離は固定され,変更されない.
各ステップは、ノードの最短距離を決定すると理解される.
複数のアルゴリズムが実行されると、テーブルには各ノードの最短距離情報が格納されます.

マルチアウトレットアルゴリズム:簡単な実施方法

各ステップでアクセスされていないノードから最短距離のノードを選択するには、各ステップで1 Dテーブルのすべての要素をチェックします.
マルチカーブアルゴリズムの実装

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

マルチタスクアルゴリズムマルチタスクアルゴリズム:時間の複雑さじかんのふくざつさ

総O(V)回,最短距離最短のノードは毎回線形探索を行う.
したがって,時間全体の複雑さはO(V^2)である.

優先キュー

これは、最も優先度の高いデータを最初に削除するデータ構造です.
スタックはまず、最新の挿入データを抽出します.
キューは、まず挿入されたデータを抽出します.
優先度キューは、まず優先度が最も高いデータを抽出します.

お尻

優先順位キューを実装するためのデータ構造の1つです.
少なくともお尻と最大お尻があります.
リスト表示挿入時間O(1)削除時間O(N)
臀部挿入時間O(logn)削除時間O(logn)

マルチアウトプットアルゴリズム:改善された実施方法

ステップごとにアクセスされていないノードでhipデータ構造を使用して最短距離のノードを選択
マルチアウトプットアルゴリズム:改善された実装

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

マルチアウトプットアルゴリズム:改善された実施方法の時間的複雑さ

HIPデータ構造を利用した多出口アルゴリズムの時間的複雑さはO(EGV)であった.

りゅうすいアルゴリズム

すべてのノードから他のすべてのノードへの最短パスをすべて計算
floydwalshアルゴリズムは,マルチアウトプットアルゴリズムと同様に,逐次遍歴するノードに基づいてアルゴリズムを実行する.
ただし、ステップごとにアクセスされていないノードの中で最短距離のノードを探す必要はありません.
各ステップが特定のノードkを通過することを確認する.
a〜k〜bの距離がa〜bの最短距離よりも短いかどうかを調べる.
点火式は以下の通り

流水アルゴリズムの実装

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

flowersalアルゴリズムのパフォーマンス

ノード数がNの場合、アルゴリズム上ではN回のステップが実行される
各ステップは,O(N^2)の演算により現在のノードのすべてのパスを通過することを考慮する.
従ってfloydwalshアルゴリズムの全時間複雑度はO(n^3)であった.
でんしんもんだい

import sys
import heapq

n,m,c = map(int,sys.stdin.readline().split())

inf = sys.maxsize

graph = [[] for _ in range(n+1)]

distance = [inf] * (n+1)

for _ in range(m):
    x,y,z = map(int,sys.stdin.readline().split())
    graph[x].append((y,z))

def dijkstra(c):
    queue = []
    heapq.heappush(queue,(0,c)) # 큐에다가 시작 노드를 0으로 만들어서 삽입한다.
    distance[c] = 0 # 시작노드까지의 거리는 0으로 초기화

    while queue: 
        dist,now = heapq.heappop(queue) 
        if distance[now] < dist: 
            continue

        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(queue,(cost,i[0]))

dijkstra(c)

cnt = 0 # 탐색 가능한 노드의 개수

result = [] # 최대값 저장을 위한 배열

for i in distance:
    if i != inf:
        cnt += 1
        result.append(i)

print(cnt-1,max(result)) # 시작노드제외

未来の都市問題

import sys

inf = sys.maxsize

n,m = map(int,sys.stdin.readline().split())

graph = [[inf for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]

for i in range(n+1):
    for j in range(n+1):
        if i == j:
            graph[i][j] = 0
        

for _ in range(m):
    a,b = map(int,sys.stdin.readline().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

x,k = map(int,sys.stdin.readline().split()) # k번 회사를 x번 거쳐가는 최소 이동시간

for k in range(1,n+1): # floyd warshall 알고리즘
    for a in range(1,n+1):
        for b in range(1,n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k] + graph[k][b])

dist = graph[1][k] + graph[k][x]

print(dist)

ソース:https://freedeveloper.tistory.com/277?category=888096