[Week 2]Day 6 Numpy/ベクトル/行列

📒 Numpy

これはNumpyの基礎授業です.
Numpyは一度ネットで簡単に勉強したことがあります.
教授は最初から最後まで一つ一つ私を指図してくれた.
頭の中の内容を整理するのは簡単すぎる.

📝 numpy

｣マトリクスとマトリクスをコードで表すにはどうすればいいですか?

✏️ Why needs?

coefficient_matrix = [[2, 2, 1], [2, -1, 2], [1, -1, 2]]
constant_vector = [9, 6, 5]

はどのようにして様々なマトリクス計算を作成しますか?

は非常に大きな行列

を表す.

処理速度問題-Pythonは解釈言語

である.
👉 適切な包装が必要です.

✏️ numpy(Numerica Python)

Python高性能科学コンピューティングパッケージ

アレイ演算の標準(線形代数)、例えば

行列およびVector

の一般的なリストに比べて、高速でメモリ効率が向上します.

は、データ配列に対する重複文を必要としない処理をサポートする.

# 패키지 설치
activate ml
conda install numpy

# 호출
import numpy as np

✏️ ndarray

numpyはnpです.array関数を用いて配列を生成する.

配列に格納できるデータ型は

個のみです.(声明)

ダイナミックタイプはサポートされていません.(Cアレイ使用)

>>> test_aray = np.array([1, 4, 5, 8], float) # (리스트, 타입)
>>> print(test_array)
array([1. , 4. , 5. , 8.])
>>> type(test_array)
numpy.ndarray
>>> type(test_array[3])
numpy.float64

✏️ Array creation

形状:numpy配列の次元構成

を返す

dtype:numpy arrayは、データ型

を返します.

>>> test_array = np.array([1, 4, 5, "8"]) # String Type의 데이터를 입력해도
>>> print(test_array)
array([1., 4., 5., 8.])
>>> print(type(test_array[3])) # Float Type으로 자동 형변환
numpy.float64
>>> print(test_array.dtype) # Array 전체의 데이터 Type을 반환
dtype('float64')
>>> print(test_array.shape) # Array의 shape를 반환 (Dimension)
(4,)

✏️ Array shape

arrayのRANKによると名前があります.
RankNameExample0scalar71vector[10, 10]2matrix[[10, 10,], [15, 15]]33-tensor[[[1, 5, 9], [2, 6, 10]], [[3, 7, 11], [4, 8, 12]]]nn-tensor

✏️ Array dtype

Cのデータ型と互換性があります.

📝 numpy2

✏️ reshape

Arrayシェイプのサイズを変更します.要素の個数は同じです.

>>> test_matrix = [[1, 2, 3, 4], [1, 2, 5, 8]]
>>> np.array(test_matrix).shape
(2, 4)
>>> np.array(test_matrix).reshape(8,)
array[1, 2, 3, 4, 1, 2, 5, 8]

個-1を入れると、大きさに合わせて自分で形を整えます.

フラット->多次元配列は、1次元配列

を返します.

✏️ Indexing

Listとは異なり、2次元配列に[0,0]タグが与えられる.

行列は前の行、後の列を表す.

>>>  a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], int)
>>> print(a[1, 2])
6
>>> a[0, 0] = 0
>>> print(a)
array([[0, 2, 3], [4, 5, 6]])

✏️ Slicing

Listとは異なり、行と列をスライスすることができる.

行列の部分集合を抽出する場合に便利です.

>>> a = np.array([[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10]], int)
>>> a[:, 2:] # 전체 Row의 2열 이상
array([[3, 4, 5], [8, 9, 10]])
>>> a[1, 1:3] # 1 Row의 1열 ~ 2열
array([7, 8])
>>> a[1:3] # 1Row ~ 2Row의 전체
array([6, 7, 8, 9, 10])

✏️ Creation function

arange:arrayの範囲は、値のリスト

を生成する.

np.arange(5) # List의 range와 같은 효과, integer로 0부터 4까지 배열 추출
# array([0, 1, 2, 3, 4])
np.arange(0, 3, 0.5) # (시작, 끝, step)으로, floating point도 표시 가능
# array([0., 0.5, 1., 1.5, 2, 2.5])
np.arange(4).reshape(2, 2)
# array([[0, 1], [2, 3]])

0:0で満たされたカレンダー

を作成

ones:1の生成

empty:形状のみが空の仕様

を生成する.

something like(カレンダー):既存のカレンダーの形状と同じサイズの1、0または空の配列

を返します.

np.zeros(shape=(5,), dtype=np.int8)
# array([0, 0, 0, 0, 0], dtype = int8)
np.ones((2, 2))
# array([[1, 1], [1, 1]])

identity:単位行列(i行列)

を作成する

>>> np.identity(3)
array([1., 0., 0.],
      [0., 1., 0.],
      [0., 0., 1.]])

目:対角線が1のマトリクスで、K値の開始インデックス

を変更できます.

np.eye(3, 5, k = 2)
array([0., 0., 1., 0., 0.],
      [0., 0., 0., 1., 0.],
      [0., 0., 0., 0., 1.]])

diag:対角行列の値を抽出(開始インデックスをK値に設定可能)
k値が正の場合は右、負の場合は下

matrix = np.arange(9).reshape(3, 3)
np.diag(matrix)
# array([0, 4, 8])

random.unitform(開始値、終了値、size):均一分布

random.normal(開始値、終了値、size):正規分布

✏️ axis

すべての操作関数を実行するときの寸法軸

a = a[np.newaxis, :] # 값은 그대로면서, 축을 하나 늘려준다.
a.T # T를 붙여주면 행과 열을 바꿔준다.

🧤 np.何かを呼び出すことで、さまざまな数学演算子を決定できます.

✏️ concatenate

numpy arrayを組み合わせた関数

✏️ array operation

numpyは配列間の基本的な4則演算をサポートします.(同じ形状でなければなりません)

>>> a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> a + a
array([[2, 4, 6], [8, 10, 12]])
>>> a - a
array([[0, 0, 0], [0, 0, 0]])
>>> a * a
array([[1, 4, 9], [16, 25, 36]])

Dot Product、すなわち

行列の基本演算もサポートします.

>>> a = np.arange(1, 7).reshape(2, 3)
>>> b = np.arange(7, 13).reshape(3, 2)
>>> a.dot(b)
array([[58, 64], [139, 154]])

行列からScalar、Vector-Metrixまでの演算もサポートされています.

📝 numpy3

✏️ Comparisons

配列サイズが同じである場合、要素間の比較結果はBoolean typeを返します.

>>> a = np.array([1, 3, 0])
>>> b = np.array([5, 2, 1])
>>> a > b
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> (a > b).any()
True

np.where(a > 0, 3, 2) # where(condition, True, False)
np.where(a > 0) # True 값의 index들을 반환
a = np.array([1, np.Nan, np.Inf], float)
np.isnan(a) # Not a Number
np.isfinite(a) # is finite number

np.argmax(a), np.argmin(a) # 최대값, 최소값의 index를 반환함
np.argmax(a, axis = 1), np.argmin(a, axis = 0) # axis 기반의 반환
a.argsort() # 작은 값부터 index를 반환
a[a.argsort()[::-1]] # 내침차순

✏️ Boolean & fancy index

Boolean indexは、特定の条件に従って配列形式で値を抽出する.

Comparison演算子も使用できます.

>>> a = np.array([1, 4, 0, 2, 3, 5], float)
>>> a[a > 3] # 조건이 True인 index의 element만 추출
array([4.0, 5.0])

numpyはarrayをインデックス値として使用し、値を抽出できます.

マトリックス形式のデータであってもよい.

>>> a = np.array([2, 4, 6, 8], float)
>>> b = np.array([0, 0, 1, 3, 2, 1], int) # 반드시 integer로 선언
>>> a[b] # bracket index, b 배열의 값을 index로 하여 a의 값들을 추출함.
# a.take(b) -> take 함수 : 윗 줄 문법과 같은 효과
array([2., 2., 4., 8., 6., 4.])

✏️ Numpy data I/O

テキスト型データの読み取りと格納機能

a = np.loadtxt("파일명")
a_int = a.astype(int) # int type 변환
np.savetgxt("파일명", a_int, fmt="%.2e", delimiter=",") # csv로 저장

📒 ベクトルは何ですか。

講師はUNIXの任成彬教授に変わった.
これはベクトルの数学的内容+python実現に関する講座である.
幾何学、ベクトル、または線形代数を学ぶのは長い間、新しい概念のように感じられています.
今は数学の勉强をがんばります.

📝 vector

の数字を要素とするlistまたは配列.

空間で一点を表す.

原点から相対位置を表します.

# 1차원 벡터 예시
x = np.array([1, 7, 2]) # 행 벡터
x.T # 열 벡터

の数字を乗算し、長さだけを変更します.(スカラー乗算)

ベクトル同士が同じ形状であれば4則演算が可能である.

📝 ベクトル賭博

ベクトルのギャンブル(norm)とは、原点からの距離を指す.

の任意の次元dに対して成立する.

L 1賭けに各成分変化量の絶対値を加える.

L 2賭博はピタゴラスの定理を用いてユークリッド距離を計算した.

def L1_norm(x):
    x_norm = np.abs(x)
    x_norm = np.sum(x_norm)
    return x_norm

# np.linalg.norm을 이용해도 구현할 수 있다.
def L2_norm(x):
    x_norm = x * x
    x_norm = np.sum(x_norm)
    x_norm = np.sqrt(x_norm)
    return x_norm

賭博の種類は異なり、その幾何学的性質も異なる.

2つのベクトル間の距離は、

L 1、L 2賭けを用いて計算することができる.

2つのベクトル間の距離を計算するときに、ベクトルの減算を使用します.

の第2の余弦法則によれば、2つのベクトル間の角度を計算することができる.

def angle(x, y):
    v = np.inner(x, y) / (L2_norm(x) * L2_norm(y))
    theta = np.arccos(v)
    return theta

📒 [解答]ベクトル-1~5

5/5 Solve

📝 Q1

Q)次のベクトルのL 1-賭け(整数値入力)を求める

x = [-1, 2, -3]

A) 1 + 2 + 3 = 6

📝 Q2

Q)次のベクトルのL 2-賭け(整数値入力)を求める

x = [-6, -8]

A) sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10

📝 Q3

Q)L 2-ギャンブルを用いて2つのベクトル間の距離を求める(整数値入力)

x = [-3, 0]
y = [0, 4]

A) L2(x - y) = L2([-3, -4]) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

📝 Q4

Q)2つのベクトルの間の挟み角(入力アーク単位:0以上、7未満の整数値)を求める

x = [0, 1]
y = [0, 2]

A) θ = 内在(x,y)/(L 2(x)*L 2(y)=2/(1*2)=1.
-> arccos(θ) = arccos(1) = 0

📝 Q5

Q)内積が次のように定義される場合:

<x, y> = ||x||₂||y||₂cos(θ)

x = [1, -1, 1, -1]
y = [4, -4, 4, -4]

A) L2(x) * L2(y) * cos(θ) = 2 * 8 * 1 = 16

📒 チームは何ですか。

理論はすべて理解したが、最後の応用部分を聞いてもあまり理解できなかった.
マトリックス演算は深さ学習の核心だそうです.
モデルを直接実現するには、本当に重要な部分のようです.
自分を理論から応用に導くためには、多くの勉強が必要らしい.

📝 列

行列は、ベクトルを要素とする2次元アレイである.

numpyでは、行ベクトルを要素を有する2次元配列と見なすことが望ましい.

行列には、行(行)と列(列)というインデックスがあります.

プリアンブル行列は、行および列のインデックスが変更された行列を意味する.

行列は同じ形状を有し、加算、減算、成分乗算、スカラー乗算ともによい.

📝 マトリックス演算

▼▼行列乗算

行列は、i第1行ベクトルとj第1列ベクトルとの間の内積を成分とする行列を乗じたものである.

行列積によりベイカーモードを抽出してもよいし、データを圧縮してもよい.

X = np.array([[1, -2, 3],
              [7, 5, 0],
              [-2, -1, 2]])
Y = np.array([[0, 1],
              [1, -1],
              [-2, 1]])
>>> X @ Y # numpy에선 @ 연산을 사용한다.
array([[-8, 6],
       [5, 2],
       [-5, 1]])

▼▼マトリックス内積

numpyのnp.Innerは、i第1行ベクトルとj第1行ベクトルとの間の内積を成分のマトリクスとして計算する.

▼▼逆行列

ある行列Aの演算を逆算した行列を逆行列と呼ぶ.

逆行列は、行列数が等しく、行列式(行列式)がゼロでない場合にのみ計算できます.

X = np.array([1, -2, 3],
             [7, 5, 0],
             [-2, -1, 2]])
np.linalg.inv(X) # 역행렬 구하기

逆行列が計算できない場合、類似逆行列(pseudo-reverse)またはmoore-penrose逆行列が使用される.

X = np.array([[0, 1],
              [1, -1],
              [-2, 1]])
np.linalg.pinv(X) # 유사 역행렬 구하기

📝 適用

▼▼▼連立方程式を解く

▼▼線形回帰分析

📒 [解答]マトリックス-1~5

5/5 Solve

📝 Q1

Q)マトリクスXの正しい前置マトリクスを以下のオプションで選択してください.

  X = [[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]
       [7, 8, 9]]

  1. [[3, 2, 1],
      [6, 5, 4],
      [9, 8, 7]]  
    
✔️2. [[1, 4, 7],
      [2, 5, 8],
      [3, 6, 9]]
    
  3. [[9, 8, 7],
      [6, 5, 4],
      [3, 2, 1]]
    
  4. [[7, 8, 9],
      [4, 5, 6],
      [1, 2, 3]]
    
  5. [[1, 0, 0],
      [0, 1, 0],
      [0, 0, 1]]

📝 Q2

Q)2つの行列の積は、各行列の形状とは無関係であってもよい.
A)いいえ

📝 Q3

Q)任意の行列の逆行列は常に計算可能である.
A)いいえ

📝 Q4

Q)マトリクスXの正しい逆マトリクスを以下のオプションで選択してください.

X = [[1, 0, 1],
     [0, 1, 0]
     [1, 1, 0]]

  1. [[1, 0, 0],
      [0, 1, 0],
      [0, 0, 1]]  
    
  2. [[1, 0, 1],
      [0, 1, 0],
      [1, 1, 0]]
    
  3. [[1, 0, 1],
      [0, 1, 1],
      [1, 0, 0]]
    
✔️4. [[0, -1, 1],
      [0, 1, 0],
      [1, 1, -1]]
    
  5. [[0, -1, 1],
      [-1, 1, 0],
      [1, 0, -1]]

📝 Q5

Q)マトリクスXの正しいモール・ペンロス逆マトリクスを以下のオプションで選択してください.

X = [[1, 0, 1],
     [0, 1, 0]]

  1. [[1, 0],
      [0, 1],
      [1, 1]]  
    
  2. [[1, 1],
      [1, 1],
      [0, 0]]
    
✔️3. [[0.5, 0],
      [0, 1],
      [0.5, 0]]
    
  4. [[0.5, 0.5],
      [0, 0.5],
      [0.5, 0]]
    
  5. [[0, 1],
      [1, 0],
      [0, 1]]