[イコット]その他のグラフ理論


互いに集合する.

  • は、2つの共通要素のない集合を意味する.
  • 例えば
  • ,{1,2}と{3,4}が関係であり,{1,2}と{2,3}が関係ではない.
  • 集合データ構造


  • これは,部分集合に分かれた要素のデータを扱うための資料構造である.

  • 集合資料構造は2つの演算をサポートします.
  • とセット(Union):2つの要素を含むセットを1つのセットに統合する演算.
  • 検索
  • (Find):エレメントが属する集合が何であるかを示す演算.

  • 集合資料構造は「連合検索」(Union Find)資料構造と呼ばれている.

  • 複数の集計演算が与えられた場合、集合資料構造の動作過程は以下の通りである.
  • の連結演算を確認し、2つの相互接続ノードA、Bを決定する.
  • AとBのルートノードA",B"をそれぞれ探します.
  • A「Bに設定」の親ノード.

  • すべての並列演算が処理されるまで、プロシージャを繰り返します.
  • 集合構造しゅうごうこうぞう:接続せつぞくせい

  • 集合資料構造では,結合性により集合の形態を容易に決定できる.
  • の基本形式の集合資料構造では、ルートノードにすぐにアクセスできません.
    ルートノードを見つけるには、親テーブルのチェックを続け、遡及する必要があります.
  • 集約リソース構造:基本的な実装方法(Python)
    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
        if parent[x] != x:
            return find_parent(parent, parent[x])
        return x
        
    # 두 원소가 속한 집합을 합치기
    def union_parent(parent, a, b):
        a = find_parent(parent, a)
        b = find_parent(parent, b)
        if a < b:
            parent[b] = a
        else:
            parent[a] = b
            
    # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
    # 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
    for i in range(1, v+1):
        parent[i] = i
        
    # Union 연산을 각각 수행
    for i in range(e):
        a, b = map(int, input().split())
        union_parent(parent, a, b)
        
    # 각 원소가 속한 집합 출력하기
    print('각 원소가 속한집합: ', end='')
    for i in range(1, v+1):
        print(find_parent(parent, i), end=' ')
        
    print()
    
    # 부모 테이블 내용 출력하기
    print('부모 테이블:', end='')
    for i in range(1, v+1):
        print(parent[i], end= ' ')

    集合リソース構造:基本的な実装における問題


    演算が
  • および(Union)に偏っている場合、検索(Find)関数は無効になります.
  • の最悪の場合、ルックアップ関数はすべてのノードを検査し、時間複雑度はO(V)である.
  • 集合データ構造のみ集合データこうぞう:パス圧縮パスあっしゅく


    パス圧縮は、
  • ルックアップ(Find)関数を最適化する方法である.
    親テーブル値は、再帰的に呼び出された
  • ルックアップ(Find)関数の直後に更新される.
  • # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if parent[x] != x:
            parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
        return parent[x]
  • パス圧縮技術を適用して、各ノードに対してルックアップ(Find)関数を呼び出すと、そのノードのルートノードが親ノードとなる.
  • 同じ例
  • ですべての統合(Union)関数を処理し、各要素に対してFind(Find)関数を実行すると、親テーブルは次のように更新されます.
  • 基本法と比較して,時間的複雑さは改善された.
  • 集合構造:経路圧縮(Python)

    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
        if parent[x] != x:
            return find_parent(parent, parent[x])
        return parent[x]
        
    # 두 원소가 속한 집합을 합치기
    def union_parent(parent, a, b):
        a = find_parent(parent, a)
        b = find_parent(parent, b)
        if a < b:
            parent[b] = a
        else:
            parent[a] = b
            
    # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
    # 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
    for i in range(1, v+1):
        parent[i] = i
        
    # Union 연산을 각각 수행
    for i in range(e):
        a, b = map(int, input().split())
        union_parent(parent, a, b)
        
    # 각 원소가 속한 집합 출력하기
    print('각 원소가 속한집합: ', end='')
    for i in range(1, v+1):
        print(find_parent(parent, i), end=' ')
        
    print()
    
    # 부모 테이블 내용 출력하기
    print('부모 테이블:', end='')
    for i in range(1, v+1):
        print(parent[i], end= ' ')

    集合によるループの決定


  • このコレクションは、無方向グラフィックでループを決定した場合にのみ使用できます.
  • を参照すると、方向図中の周期の有無はDFSで判別できる.

  • サイクル判別アルゴリズムは以下の通りである.
    各幹線検査
  • は、2つのノードのルートノードを確認する.
  • のノードが異なる場合、2つのノードに対してマージ演算が実行されます.
  • ノードが等しい場合、ループが発生します.
  • 図に含まれるすべての幹線について、プロセスを繰り返します.
  • # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
        if parent[x] != x:
            return find_parent(parent, parent[x])
        return parent[x]
        
    # 두 원소가 속한 집합을 합치기
    def union_parent(parent, a, b):
        a = find_parent(parent, a)
        b = find_parent(parent, b)
        if a < b:
            parent[b] = a
        else:
            parent[a] = b
            
    # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
    # 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
    for i in range(1, v+1):
        parent[i] = i
        
    Cycle = False
        
    # Union 연산을 각각 수행
    for i in range(e):
        a, b = map(int, input().split())
        if find_parent(parent, a) == find_parent(parent,b):
            cycle = True
            break
        else:
            union_parent(parent, a, b)
        
    if cycle:
        print("사이클 발생")
    else:
        print("사이클 발생 안함")

    ストレッチツリー

  • 図には、ループが存在しないローカル図を示すすべてのノードが含まれている.
  • を含むすべてのノードが互いに接続され、ループが存在しない条件もツリーの条件である.
  • さいしょうのびじゅ

  • 最もコストの低い拡張ツリーを探す必要がある場合はどうすればいいですか?
  • 例えば、N都市が存在すると仮定すると、2つの都市の間に道路を設置しなければ、都市全体が相互に接続できない.
  • 両都市A,Bが選択されると、A~Bの経路が必ず存在するように道路が設けられる.
  • クルーズアルゴリズム

  • は代表的な最小伸長ツリーアルゴリズムである.
  • 階調アルゴリズムに分類される.
  • 具体的な動作過程は以下の通りである.
  • 幹線データを料金順に昇順に並べ替えます.
  • 幹線を1本ずつ検査し、現在の幹線が周期的に発生しているかどうかを確認します.
  • サイクルが発生しない場合、最小伸長ツリーに含まれます.
  • サイクルが発生した場合、最小伸長ツリーには含まれません.
  • すべての幹線に対して2回の過程を繰り返す.
    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
        if parent[x] != x:
            return find_parent(parent, parent[x])
        return parent[x]
        
    # 두 원소가 속한 집합을 합치기
    def union_parent(parent, a, b):
        a = find_parent(parent, a)
        b = find_parent(parent, b)
        if a < b:
            parent[b] = a
        else:
            parent[a] = b
            
    # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
    edges = []
    result = 0
    
    # 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
    for i in range(1, v+1):
        parent[i] = i    
       
    # 모든 간선에 대한 입력 받기
    for _ in range(e):
        a, b, cost = map(int, input().split())
        # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
        edges.append((cost, a, b))
        
    # 간선을 비용순으로 정렬
    edges.sort()
    
    # 간선을 하나씩 확인하며
    for edge in edges:
        cost, a, b =  edge
        # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
        if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
            union_parent(parent, a, b)
            result += cost
            
    print(result)

    クルーズアルゴリズム性能分析

  • クルーズアルゴリズムは,幹線個数がEの場合,O(ElogE)の時間的複雑さを有する.
  • クルースカアルゴリズムでは,最も時間が要求される場所は幹線のソートである.
  • 標準ライブラリを用いてE個のデータを並べ替える時間的複雑度はO(ElogE)である.
  • 位相位置合わせ


  • これは、方向性に反することを避けるために、ループのない方向図内のすべてのノードを順番にリストすることを意味する.
    入車数と出車数

  • 入力回数:特定のノードに入る幹線の数

  • 入場回数(Outdegree):特定のノードから流出する幹線数

  • フェーズアライメントアルゴリズム

  • キューを用いた位相ソートアルゴリズムの動作手順は、以下の通りである.
  • アクセス数0のすべてのノードをキューに入れます.
  • キューから要素を取り出し、ノードのメインラインをグラフから削除します.
  • 新規アクセス数0のノードをキューに入れる.
  • の結果は、各ノードがキューに入る順序が位相ソートを実行した結果と同じであることを示している.
  • の場合、グラフは無周期方向図(DAG)であるべきである.
  • from collection import deque
    
    # 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    # 모든 노드에 대한 진입 차수는 0으로 초기화
    indetree = [0] * (v + 1)
    # 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
    graph = [[] for i in range(v+1)]
    
    # 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
    for _ in range(e):
        a, b = map(int, input().split())
        graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동가능
        # 진입 차수를 1 증가
        indegree[b] += 1
        
    # 위상 정렬 함수
    def topology_sort():
        result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
        q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
        # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
        for i in range(1, v+1):
            if indetree[i] == 0:
                q.append(i)
        # 큐가 빌때까지 반복
        while q:
            # 큐에서 원소 꺼내기
            now = q.popleft()
            result.append(now)
            # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
            for i in graph[now]:
                indegree[i] -= 1
                # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드르 ㄹ큐에 삽입
                if indegree[i] == 0:
                    q.append(i)
        # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
        for i in result:
            print(i, end= ' ')
            
    topology_sort()

    位相整列フィーチャー

  • 位相較正はDAGに対してのみ行うことができる.
  • 直結ループパターン:非ループ方向図
  • 位相ソートでは、複数の答えが存在する可能性がある.
  • フェーズでは、キューに2つ以上の新しい要素がある場合、複数の答えが存在します.
  • すべての要素にアクセスする前に、キューが空の場合、ループがあると判断できます.
  • サイクルに含まれる要素では、どの要素もキューに入れません.
  • スタックのDFSを用いて位相整合を行うこともできる.
  • フェーズアライメントアルゴリズムのパフォーマンス分析

  • 位相をソートするには、すべてのノードを順次チェックし、各ノードの出口幹線を1つずつ削除する必要がある.
  • 位相整列アルゴリズムの時間的複雑さはO(V+E)であった.