[イコット]その他のグラフ理論

互いに集合する.

は、2つの共通要素のない集合を意味する.

例えば

,{1,2}と{3,4}が関係であり,{1,2}と{2,3}が関係ではない.

集合データ構造

これは,部分集合に分かれた要素のデータを扱うための資料構造である.

集合資料構造は2つの演算をサポートします.

とセット(Union):2つの要素を含むセットを1つのセットに統合する演算.

検索

(Find):エレメントが属する集合が何であるかを示す演算.

集合資料構造は「連合検索」(Union Find)資料構造と呼ばれている.

複数の集計演算が与えられた場合、集合資料構造の動作過程は以下の通りである.

の連結演算を確認し、2つの相互接続ノードA、Bを決定する.

AとBのルートノードA",B"をそれぞれ探します.

A「Bに設定」の親ノード.

すべての並列演算が処理されるまで、プロシージャを繰り返します.

集合構造しゅうごうこうぞう:接続せつぞくせい

集合資料構造では,結合性により集合の形態を容易に決定できる.

の基本形式の集合資料構造では、ルートノードにすぐにアクセスできません.
ルートノードを見つけるには、親テーブルのチェックを続け、遡及する必要があります.

集約リソース構造:基本的な実装方法(Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end= ' ')

集合リソース構造:基本的な実装における問題

演算が

および(Union)に偏っている場合、検索(Find)関数は無効になります.

の最悪の場合、ルックアップ関数はすべてのノードを検査し、時間複雑度はO(V)である.

集合データ構造のみ集合データこうぞう:パス圧縮パスあっしゅく

パス圧縮は、

ルックアップ(Find)関数を最適化する方法である.
親テーブル値は、再帰的に呼び出された

ルックアップ(Find)関数の直後に更新される.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

パス圧縮技術を適用して、各ノードに対してルックアップ(Find)関数を呼び出すと、そのノードのルートノードが親ノードとなる.

同じ例

ですべての統合(Union)関数を処理し、各要素に対してFind(Find)関数を実行すると、親テーブルは次のように更新されます.

基本法と比較して,時間的複雑さは改善された.

集合構造:経路圧縮(Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end= ' ')

集合によるループの決定

このコレクションは、無方向グラフィックでループを決定した場合にのみ使用できます.

を参照すると、方向図中の周期の有無はDFSで判別できる.

サイクル判別アルゴリズムは以下の通りである.
各幹線検査

は、2つのノードのルートノードを確認する.

のノードが異なる場合、2つのノードに対してマージ演算が実行されます.

ノードが等しい場合、ループが発生します.

図に含まれるすべての幹線について、プロセスを繰り返します.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
    
Cycle = False
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent,b):
        cycle = True
        break
    else:
        union_parent(parent, a, b)
    
if cycle:
    print("사이클 발생")
else:
    print("사이클 발생 안함")

ストレッチツリー

図には、ループが存在しないローカル図を示すすべてのノードが含まれている.

を含むすべてのノードが互いに接続され、ループが存在しない条件もツリーの条件である.

さいしょうのびじゅ

最もコストの低い拡張ツリーを探す必要がある場合はどうすればいいですか?

例えば、N都市が存在すると仮定すると、2つの都市の間に道路を設置しなければ、都市全体が相互に接続できない.

両都市A,Bが選択されると、A~Bの経路が必ず存在するように道路が設けられる.

クルーズアルゴリズム

は代表的な最小伸長ツリーアルゴリズムである.

階調アルゴリズムに分類される.

具体的な動作過程は以下の通りである.

幹線データを料金順に昇順に並べ替えます.

幹線を1本ずつ検査し、現在の幹線が周期的に発生しているかどうかを確認します.

サイクルが発生しない場合、最小伸長ツリーに含まれます.

サイクルが発生した場合、最小伸長ツリーには含まれません.

すべての幹線に対して2回の過程を繰り返す.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i    
   
# 모든 간선에 대한 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))
    
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b =  edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost
        
print(result)

クルーズアルゴリズム性能分析

クルーズアルゴリズムは,幹線個数がEの場合,O(ElogE)の時間的複雑さを有する.

クルースカアルゴリズムでは,最も時間が要求される場所は幹線のソートである.

標準ライブラリを用いてE個のデータを並べ替える時間的複雑度はO(ElogE)である.

位相位置合わせ

これは、方向性に反することを避けるために、ループのない方向図内のすべてのノードを順番にリストすることを意味する.
入車数と出車数

入力回数:特定のノードに入る幹線の数

入場回数(Outdegree):特定のノードから流出する幹線数

フェーズアライメントアルゴリズム

キューを用いた位相ソートアルゴリズムの動作手順は、以下の通りである.

アクセス数0のすべてのノードをキューに入れます.

キューから要素を取り出し、ノードのメインラインをグラフから削除します.

新規アクセス数0のノードをキューに入れる.

の結果は、各ノードがキューに入る順序が位相ソートを実行した結果と同じであることを示している.

の場合、グラフは無周期方向図(DAG)であるべきである.

from collection import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입 차수는 0으로 초기화
indetree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
        if indetree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드르 ㄹ큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end= ' ')
        
topology_sort()

位相整列フィーチャー

位相較正はDAGに対してのみ行うことができる.

直結ループパターン:非ループ方向図

位相ソートでは、複数の答えが存在する可能性がある.

フェーズでは、キューに2つ以上の新しい要素がある場合、複数の答えが存在します.

すべての要素にアクセスする前に、キューが空の場合、ループがあると判断できます.

サイクルに含まれる要素では、どの要素もキューに入れません.

スタックのDFSを用いて位相整合を行うこともできる.

フェーズアライメントアルゴリズムのパフォーマンス分析

位相をソートするには、すべてのノードを順次チェックし、各ノードの出口幹線を1つずつ削除する必要がある.

位相整列アルゴリズムの時間的複雑さはO(V＋E)であった.