パスカルの三角関係

問題声明
整数numrowsを与えられて、Pascalの三角形の最初のnumrowsを返します.
Pascalのトライアングルでは、それぞれの数値は、示されているように2つ以上の数値の合計である
からの問題文 https://leetcode.com/problems/pascals-triangle

例1 :

Input: numRows = 5
Output: [ [1], [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1], [1, 4, 6, 4, 1] ]

例2 :

Input: numRows = 1
Output: [[1]]

制約

- 1 <= numRows <= 30

解説

ブルートフォースアプローチ
簡単な方法は2ループを走らせ,内ループにおける二項係数の値を計算することである.
例えば、第1のラインは1、第2のラインは1、第3のラインは11、1を有する.など.行のすべてのエントリは二項係数の値です.行番号行のi番目のエントリの値はc ( line , i )です.値は以下の式で計算することができる.

C(line, i) = line! / ( (line-i)! * i! )

上記のロジックの小さなC++の断片は以下の通りです.

void printPascal(int n)
{
    for (int line = 0; line < n; line++){
        for (int i = 0; i <= line; i++)
            cout <<" "<< binomialCoefficient(line, i);
        cout <<"\n";
    }
}

int binomialCoefficient(int n, int k)
{
    int result = 1;

    if (k > n - k)
        k = n - k;

    for (int i = 0; i < k; ++i){
        result *= (n - i);
        result /= (i + 1);
    }

    return result;
}

各反復の係数を生成しているので
この問題の時間複雑性はo(n ^ 3)である.

最適解(O(n ^ 2)時間とO(n ^ 2)余剰空間)
Pascal三角形を見ると、すべてのエントリがその2つの値の合計であることがわかります.そこで、以前に生成された2 D配列を作成しました
値.
上記のロジックの小さなC++の断片は以下の通りです.

for (int line = 0; line < n; line++) {
    for (int i = 0; i <= line; i++) {
        if (line == i || i == 0)
            arr[line][i] = 1;
        else
            arr[line][i] = arr[line - 1][i - 1] + arr[line - 1][i];
        cout << arr[line][i] << " ";
    }
    cout << "\n";
}

最適解(O(n ^ 2)時間とO(1)余剰空間)
このアプローチは、ブルートフォースアプローチに基づいています.i番目のエントリの2項係数をc(line,i)とし、全ての行は値1から始まる.ここでの考えはC ( line , i - 1 )をC ( line , i - 1 )を使って計算することです.これは、(1)時間で計算することができます以下を使用します.

C(line, i)     = line! / ( (line - i)! * i! )
C(line, i - 1) = line! / ( (line - i + 1)! * (i - 1)! )

So using the above approach we  can change the formula as below:
C(line, i)     = C(line, i - 1) * (line - i + 1) / i

C(line, i) can be calculated from C(line, i - 1) in O(1) time.

アルゴリズムをチェックしましょう

- initialize vector<vector<int>> result

- loop for line = 1; line <= n; line++
  - initialize vector<int> temp
  - set C = 1

  - loop for i = 1; i <= line; i++
    - temp.push_back(C)
    - C = C * (line - i) / i

  - result.push_back(temp)

- return result

C++ソリューション

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        vector<vector<int>> result;

        for (int line = 1; line <= numRows; line++){
            vector<int> temp;
            int C = 1;

            for (int i = 1; i <= line; i++){
                temp.push_back(C);
                C = C * (line - i) / i;
            }

            result.push_back(temp);
        }

        return result;
    }
};

ゴランソリューション

func generate(numRows int) [][]int {
    var result [][]int

    for line := 1; line <= numRows; line++ {
        var temp []int
        C := 1

        for i := 1; i <= line; i++ {
            temp = append(temp, C);
            C = C * (line - i) / i;
        }

        result = append(result, temp)
    }

    return result
}

ジャバスクリプト

var generate = function(numRows) {
    var result = [];

    for(let line = 1; line <= numRows; line++){
        var temp = [];
        let C = 1;

        for(let i = 1; i <= line; i++){
            temp.push(C);
            C = C * (line - i) / i;
        }

        result.push(temp);
    }

    return result;
};

解決策がどのように動くかを見るために、我々のアルゴリズムを実行しましょう.

Input: numRows = 3

Step 1: initialize vector<vector<int>> result

Step 2: loop for line = 1; line <= numRows
        1 <= 3
        true

        initialize vector<int> temp

        C = 1

        loop for i = 1; i <= line
        1 <= 1
        true

        temp.push_back(C);
        temp = [1]

        C = C * (line - i) / i;
        C = 1 * (1  - 1) / 1
        C = 0

        i++
        i = 2

        loop for i <= line
        2 <= 1
        false

        result.push_back(temp)

        result = [[1]]

        line++
        line = 2

Step 3: loop for line <= numRows
        2 <= 3
        true

        initialize vector<int> temp

        C = 1

        loop for i = 1; i <= line
        1 <= 2
        true

        temp.push_back(C);
        temp = [1]

        C = C * (line - i) / i
        C = 1 * (2  - 1) / 1
        C = 1 * 1 / 1

        i++
        i = 2

        loop for i <= line
        2 <= 2
        true

        loop for i <= line
        2 <= 2
        true

        temp.push_back(C);
        temp = [1, 1]

        C = C * (line - i) / i
        C = 1 * (2  - 2) / 1
        C = 1 * 0 / 1
        C = 0

        i++
        i = 3

        loop for i <= line
        3 <= 2
        false

        result.push_back(temp)

        result = [[1], [1, 1]]

        line++
        line = 3

Step 4: loop for line <= numRows
        3 <= 3
        true

        initialize vector<int> temp

        C = 1

        loop for i = 1; i <= line
        1 <= 3
        true

        temp.push_back(C);
        temp = [1]

        C = C * (line - i) / i
        C = 1 * (3 - 1) / 1
        C = 1 * 2 / 1
        C = 2

        i++
        i = 2

        loop for i <= line
        2 <= 3
        true

        temp.push_back(C);
        temp = [1, 2]

        C = C * (line - i) / i
        C = 2 * (3 - 2) / 2
        C = 2 * 1 / 2
        C = 1

        i++
        i = 3

        loop for i <= line
        3 <= 3
        true

        temp.push_back(C);
        temp = [1, 2, 1]

        C = C * (line - i) / i
        C = 1 * (3 - 3) / 3
        C = 1 * 0 / 3
        C = 0

        i++
        i = 4

        loop for i <= line
        4 <= 3
        false

        result.push_back(temp)
        result = [[1], [1, 1], [1, 2, 1]]

        line++
        line = 4

Step 5: loop for line <= numRows
        4 <= 3
        false

Step 6: return result

So the result is [[1], [1, 1], [1, 2, 1]].