[最下層からの深さ学習]3ニューラルネットワーク第1部−アクティブ関数,3層ニューラルネットワークを実現

🌿 ニューラルネットワーク
Perceptronで重みを設定するには、手動で完了する必要があります.
→ニューラルネットワークは自動的にデータから重み付けパラメータの適切な値を学習する
次の図は、ニューラルネットワークの例の1つです.

アクティブ化関数
activation function
入力信号の総和を出力信号の関数に変換する
入力信号の合計がアクティブかどうかを判断します.

重み付け信号をaというノードに結合し、アクティブ化関数h()によりyというノードに変換する.
📍 しんごうかんすう
sigmoid function

exp(-x)はe^{-x}を表し、eは自然定数、2.7182...値の実数
ニューラルネットワークは,活性化関数変換信号として信号関数を用い,変換後の信号を次のニューロンに伝達する
信号関数は以下のように実現できる.

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

📍 かいだんかんすう
step function
ステップ関数は、入力が0より大きい場合に1を出力し、入力が0より大きい場合に0を出力します.

def step_function(x):
    if x > 0:
        return 1
    else:
        return 0

ファイル番号をサポートするコードを変更します.

def step_function(x):
    y = x > 0
    return y.astype(np.int)

信号関数と階段関数

共通点

入力が小さいほど出力が0に近づく、入力が大きいほど出力が1

に近づく.

非線形関数

差異

信号関数の出力は連続的に変化し、ステップ関数の出力は0を境界とする.

**線形関数はニューラルネットワーク層を深くする意味がないため、ニューラルネットワークは非線形関数を活性化関数として使用する必要がある
📍 ReLU関数
入力が0より大きい場合は0を出力し、入力が0より小さい場合は0を出力します.

RELU関数は次のように実装できます.

def relu(x):
    return np.maximum(0, x)

三層ニューラルネットワークの実施

マトリックス積を用いて三層ニューラルネットワークを構築する
入力層から第1層への信号伝達は以下の通りである.

a 1=w 11 x 1+w 12 x 2+b 1のように、2つの重み付け信号と2つの偏向加算で算出された値.
マトリクス乗算により、第1層の重み付け部分をA=XW+Bに簡略化することができる.

これは次のようになります.

import numpy as np

X = np.array([1.0,0.5])
W1 = np.array([[0.1,0.3,0.5],[0.2,0.4,0.6]])
B1 = np.array([0.1,0.2,0.3])

A1 = np.dot(X,W1) + B1
print(A1)

次に、最初のレイヤのアクティブ化関数を見てみましょう.

ここで、活性化関数として信号関数を用いると、以下のようになる.

Z1 = sigmoid(A1)

print(A1) # [0.3, 0.7, 1.1]
print(Z1) # [0.55444252, 0.66818777, 0.75026011]

1階から2階までの過程は前とあまり差がありません.

W2 = np.array([[0.1,0.4],[0.2,0.5],[0.3,0.6]])
B2 = np.array([0.1,0.2])

print(Z1.shape) # (3, )
print(W2.shape) # (3, 2)
print(B2.shape) # (2, )

A2 = np.dot(Z1, W2) + B2
Z2 = sigmoid(A2)

最後に、第2層から出力層への信号伝達を見てみましょう.
出力レイヤは、これまでの実装とほぼ同じであり、アクティブ化関数だけがこれまでの非表示レイヤとは異なる.

def identity_function(x):
	return x
    
W3 = np.array([[0.1,0.3],[0.2,0.4]])
B3 = np.array([0.1,0.2])

A3 = np.dot(Z2, W3) + B3
Y = identity_function(A3) # 혹은 Y = A3

ここでは定等関数identity function()を定義し,出力層のアクティブ化関数として利用する.
出力層のアクティブ化関数は問題の性質によって決まる
一般的に使用されるアクティブ化関数は次のとおりです.

回帰→恒等関数

2類分類→信号関数

多種類分類→ソフトMax関数

最後に上記の実装をまとめ,3層ニューラルネットワークは以下のように実現した.

from sigmoid import sigmoid
from identity_function import identity_function
import numpy as np

def init_network():
    network = {}
    network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])

    return network

def forward(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    # input Layer -> Layer 1
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    # Layer 1 -> Layer 2
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    # Layer 2 -> Output Layer
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)

    return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)