PCAの次元ダウンを実現する3つの方法

主成分分析、すなわちPrincipal Component Analysis(PCA)は、多重統計における重要な内容であり、機械学習や他の分野にも広く応用されている.その主な役割は、高次元データの次元ダウンです.PCAは元のn個の特徴をより少ないk個の特徴で置き換え,新しい特徴は古い特徴の線形組合せであり,これらの線形組合せは試料分散を最大化し,できるだけ新しいk個の特徴を互いに相関させないようにした.
PCAの主なアルゴリズムは以下の通りである.

は、モデルの使用を容易にするためにデータ形式を組織する.

サンプルの各特徴の平均値を計算する.

各サンプルデータから特徴の平均値を減算する(正規化処理).

共分散行列を求める;

共分散行列の特徴値と特徴ベクトルを見つける.

は、特徴値と特徴ベクトルを再配列する(特徴値が大きいから小さいまで配列する).

特徴値に対して累積寄与率を求める.

は、累積寄与率に対して、ある特定の割合で特徴ベクトルセットのサブセットを選択する.

は、元のデータ(ステップ3以降)を変換する.

ここで、共分散行列の分解は、対称行列の特徴ベクトルによってもよいし、行列のSVDを分解することによっても実現できるが、Scikit−learnにおいても、SVDを用いてPCAアルゴリズムを実現する.
pythonがPCAの次元ダウンを実現する3つの方法を記録します.
1、直接法即ち上述の原始アルゴリズム
2、SVD(マトリックス特異値分解)、SVD付きオリジナルアルゴリズム、PythonのNumpyモジュールにおいてSVDアルゴリズムが実現されており、特徴値を小さいものから並べ替え、特徴値と特徴ベクトルの並べ替えを省く
3、Scikit-learnモジュール、PCA類の直接計算を実現し、前の2つの方法の正確性を検証する.
PCAの次元ダウンを行うには、共分散に関する知識が含まれます.別のブログを参照してください.共分散の理解とpythonの実装
 

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import sys
#returns choosing how many main factors
def index_lst(lst, component=0, rate=0):
    #component: numbers of main factors
    #rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors)
    #rate range suggest: (0.8,1)
    #if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst)
    if component and rate:
        print('Component and rate must choose only one!')
        sys.exit(0)
    if not component and not rate:
        print('Invalid parameter for numbers of components!')
        sys.exit(0)
    elif component:
        print('Choosing by component, components are %s......'%component)
        return component
    else:
        print('Choosing by rate, rate is %s ......'%rate)
        for i in range(1, len(lst)):
            if sum(lst[:i])/sum(lst) >= rate:
                return i
        return 0

def main():
    # test data
    mat = [[-1,-1,0,2,1],[2,0,0,-1,-1],[2,0,1,1,0]]

    # simple transform of test data
    Mat = np.array(mat, dtype='float64')
    print('Before PCA transforMation, data is:
', Mat)
    print('
Method 1: PCA by original algorithm:')
    p,n = np.shape(Mat) # shape of Mat
    t = np.mean(Mat, 0) # mean of each column

    # substract the mean of each column
    for i in range(p):
        for j in range(n):
            Mat[i,j] = float(Mat[i,j]-t[j])

    # covariance Matrix
    cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat)/(p-1)

    # PCA by original algorithm
    # eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending
    U,V = np.linalg.eigh(cov_Mat)
    # Rearrange the eigenvectors and eigenvalues
    U = U[::-1]
    for i in range(n):
        V[i,:] = V[i,:][::-1]
    # choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0
    Index = index_lst(U, component=2)  # choose how many main factors
    if Index:
        v = V[:,:Index]  # subset of Unitary matrix
    else:  # improper rate choice may return Index=0
        print('Invalid rate choice.
Please adjust the rate.')
        print('Rate distribute follows:')
        print([sum(U[:i])/sum(U) for i in range(1, len(U)+1)])
        sys.exit(0)
    # data transformation
    T1 = np.dot(Mat, v)
    # print the transformed data
    print('We choose %d main factors.'%Index)
    print('After PCA transformation, data becomes:
',T1)

    # PCA by original algorithm using SVD
    print('
Method 2: PCA by original algorithm using SVD:')
    # u: Unitary matrix,  eigenvectors in columns
    # d: list of the singular values, sorted in descending order
    u,d,v = np.linalg.svd(cov_Mat)
    Index = index_lst(d, rate=0.95)  # choose how many main factors
    T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index])  # transformed data
    print('We choose %d main factors.'%Index)
    print('After PCA transformation, data becomes:
',T2)

    # PCA by Scikit-learn
    pca = PCA(n_components=2) # n_components can be integer or float in (0,1)
    pca.fit(mat)  # fit the model
    print('
Method 3: PCA by Scikit-learn:')
    print('After PCA transformation, data becomes:')
    print(pca.fit_transform(mat))  # transformed data

main()

出力結果は次のとおりです.

Before PCA transforMation, data is:
 [[-1. -1.  0.  2.  1.]
 [ 2.  0.  0. -1. -1.]
 [ 2.  0.  1.  1.  0.]]

Method 1: PCA by original algorithm:
Choosing by component, components are 2......
We choose 2 main factors.
After PCA transformation, data becomes:
 [[ 2.6838453  -0.36098161]
 [-2.09303664 -0.78689112]
 [-0.59080867  1.14787272]]

Method 2: PCA by original algorithm using SVD:
Choosing by rate, rate is 0.95 ......
We choose 2 main factors.
After PCA transformation, data becomes:
 [[ 2.6838453   0.36098161]
 [-2.09303664  0.78689112]
 [-0.59080867 -1.14787272]]

Method 3: PCA by Scikit-learn:
After PCA transformation, data becomes:
[[ 2.6838453  -0.36098161]
 [-2.09303664 -0.78689112]
 [-0.59080867  1.14787272]]