tanh( log( 0 ) ) == -1

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反比例

y = \frac{1}{x}

の X-Y 平面のグラフを $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍スケールして 45° 時計回りに回転し、X'-Y' 平面に移すと

\begin{eqnarray}
\vec{X} & = & \frac{1}{2} (x, -x) \\
\vec{Y} & = & \frac{1}{2} (y, y) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x}, \frac{1}{x} \right) \\
\vec{P} = \vec{X} + \vec{Y} & = & \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x} ,\ x - \frac{1}{x} \right) = \left( \cosh{\theta}, \sinh{\theta} \right) \\
\end{eqnarray}

だから、双曲線関数の角度 $\theta$ は

\begin{eqnarray}
\theta
& = & \cosh^{-1}{ \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right) } \\
& = & \sinh^{-1}{ \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{x} \right) } \\
& = & \log{x} \\
\end{eqnarray}

が得られる。$\tanh{\theta}$ は

\begin{eqnarray}
\cosh{\theta} & = & \cosh{\left( \log{x} \right)} = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right) \\
\sinh{\theta} & = & \sinh{\left( \log{x} \right)} = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{x} \right) \\
\tanh{\left( \log{x} \right)} = \tanh{\theta} & = & \frac{ \sinh{\theta} }{ \cosh{\theta} } = \frac{ x^2 - 1 }{ x^2 + 1} \\
\end{eqnarray}

だから

\tanh{\left( \log{0} \right)} = \frac{-1}{1} = -1

となるハズ。

Google 検索に" tanh(log(0)) " を入れると "undefined" が返されますが、Mathematica では

In[1]:= Tanh[Log[0]]
Out[1]= -1

となります。