やりたいこと

現在発売されているポケモンカードパックには一定の確率で各レアリティのカードが封入されている。
筆者の調査では1箱の当たり枠の封入率はこんな感じらしい

参考
https://twitter.com/pokecachan/status/1466527343904583681?s=20

最高レアリティのURのカードは10BOX買って一枚当たる程度らしい。
URの中でも人気の高いピカチュウVMAXはこんな感じ。

ゴージャスですね。VMAXクライマックスにはURのカードが8種類収録されているようです。

本記事では全てのURを収集するにはBOXを何箱買えばいいのか統計を用いて考えてみる。

金に物を言わせて全部当たるまで大量買いしてもサンプル数1の結果しか得られないが、確率を使って計算することでもう少し賢く検証できるはず。
全てのURを入手するまでに開けるBOXの数はもちろん運次第だが目安の数は統計的に期待値として得ることができる。

方法

k種類のURカードを獲得した時点からk+1種類目のURカードを獲得するまでに開封するBOXの数は幾何分布に従う。

幾何分布とは

成功確率p(0<p<1)の独立なベルヌーイ試行を繰り返した時、初めて成功するまでの失敗回数Xが従う確率分布。

P(X=x)=p(1-p)^{x}

幾何分布の期待値は確率母関数を用いて求めることができる。
幾何分布の確率母関数は

\begin{align}
G(s) &= E[s^{X}]\\
&=\sum_{x=0}^{\infty}s^{x}p(1-p)^{x}\\
&=\frac{p}{1-(1-p)s}\\
\end{align}

確率母関数のs微分は、

G'(s)= \frac{p(1-p)}{\{1-(1-p)s\}^2}

ここで

G'(s) = E[Xs^{X}]

であるので、

E[X] = G'(1) = \frac{1-p}{p}

として期待値が得られる。つまりk種類目がでてからk+1種類目がでるまでに開けるBOX数は

E[X]+1 = \frac{1}{p}

さらにk種類のURを持っている時、次に開けるBOXに未入手のURが封入されている確率pは

p=\frac{10}{100} \times \frac{8-k}{8}

と表される。

以上より全8種のURを集めるまでに開封するBOX数の期待値は

\sum_{k=0}^{7}E[X_k] = \sum_{k=0}^{7}\frac{1}{p} = \sum_{k=0}^{7}\frac{1}{\frac{10}{100} \times \frac{8-k}{8}} \simeq 217

結論

全てのURを集めるためにはだいたい217BOXくらい買う必要がある。
1BOXあたり定価で5500円なので
金額にして約119万円ほどかかりそうだ。

おわりに

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