①私は,問題ア～クまでの意味を、まだ理解していません。
②重心について

平成29年3月以前の、中学3年生のみなさんへ。今は、重心を学習しないそうです。

今の中学3年生のみなさんへ。
「三角形の重心は、3点の平均の点」の程度の理解で、考えてみてください。

三角形の重心<wikipedia

解答を見る前に、
まず問題文(特に初期条件)をよく見てから、下の別解も見て下さい。

問題:第5問

解答

解答＜youtube

WolframAlpha で

(作成中)

Pycharmで:「一定の手順に従って数学的に処理する(問題作成方針 )」に準拠しているコード

(作成中)

Pycharmで:「一定の手順に従って数学的に処理する(問題作成方針 )」に違反しているコード

intersectionは、交点計算です。
distanceは、2点間の距離です。

from sympy import *
dd=10
A=Point( 0,0)
B=Point(dd,0)
C=Point(dd/2,(dd/2)*sqrt(3))
F=Point( 0,dd*sqrt(3))
G=(A+B+C)/3
D=(A+G)/2
E=Line(A,G).intersection(Line(B,C))[0]
P=Line(D,F).intersection(Line(A,B))[0]
Q=Line(D,F).intersection(Line(A,C))[0]
print(P)
print("#(1)アイ  　    ",A.distance(D)/D.distance(E))
print("#(1)ウエオ BPwAP",B.distance(P)/A.distance(P))
print("#(1)カキク CQwAQ",C.distance(Q)/A.distance(Q))
print("#(1)ケ         ",B.distance(P)/A.distance(P)+C.distance(Q)/A.distance(Q))
#(1)アイ  　     1/2
#(1)ウエオ BPwAP 8/3
#(1)カキク CQwAQ 4/3
#(1)ケ          4

別解

ポイントは、60度の三角角定規をイメージしただけです。

しつこい解説は,読まなくてもーです。
「△ABCの形状に関係なく」(問題文より)おいしいですね。
上記「三角形の重心<wikipedia」でみた直角三角定規を裏向き?にして、
定規の直角の頂点を原点に、短辺をx軸方向に置くだけです。
第Ⅰ象限です。中学生のみなさんは、「2点間の距離の公式」だいじょうぶだと思います。
以降、順番に地道な座標計算です。

60度の三角角定規を置いて,原点(直角)から60度の線を引くだけです。正三角形ABCができます。

(短辺)AB長さ＝10とします。
A＝Point( 0,0),B＝Point(10,0),C＝Point(10/2,10/2*ルート3)　
正三角形ができました。

重心Gは、平均だから、
xG=(0+10+5 )/3=5 #ABの長さの半分
yG=(0+ 0+5*SQRT(3))/3=(5*SQRT(3))/3=5*/SQRT(3) #CのY座標の1/3 #yGの値にルート3をかけると5
小さな三角定規ができました。GABの角度は30度です。

点Dは、AGの中点。
D＝Point((xA+xG)/2,(yA+yG)/2)=(5/2,5/3*SQRT(3))

点Eは、AG線とBC線の交点だから、AEは正三角形の高さ5*sqrt(3)。
また三角定規AEBができました。
EからABに垂線をひくと、また三角定規(AEと垂線の足)。EABの角度30度です。
また三角定規ができました。AEの長さは、正三角形の高さ5*SQRT(3)です。
E＝Point((5*SQRT(3)/2),5*SQRT(3)/2)

点Fは、最初？の三角定規を置いた、とんがっている方で十分です。
正三角形のBC線上(条件あり)ならどこでもいい。しめたです。
F＝Point(0,AB*SQRT(3))=Point(0,10*SQRT(3))

点Pは、DFとABの交点

直線の交点計算。連立方程式にルートがある。鶴亀算にルートがあると困りますよね。
y-10*sqrt(3)=(2.5/sqrt(3)-10*sqrt(3))/(2.5-0)*(x-0)
y           =0

0-10*3      =(2.5        -10*3      )/(2.5-0)*(x-0)　     #両辺にsqrt(3)をかけた。
 -30        =(-27.5                 )/(2.5-0)*(x-0)
           x=30/11
∴xP=30/11,yP=0

点Qは、DFとACの交点

難化。yが0じゃない!!!!
y-10*sqrt(3)  =(2.5/sqrt(3)-10*sqrt(3))/(2.5-0)*(x-0)
y             =sqrt(3)*x                                  #傾き60度(1:sqrt(3))

sqrt(3)*x-10*3=(2.5        -10*3      )/(2.5-0)*(x-0)   　#両辺にsqrt(3)をかけた。
      3*x-30  =(-27.5                 )/(2.5-0)*(x-0)
         -30  =(-27.5                 )/(2.5-0)*(x-0)-3*x
             x=30/14
             x=15/7
∴xQ=15/7,yQ=15/7**sqrt(3)

BPの長さ=10-30/11=80/11
APの長さ=30/11
CQの長さ=sqrt((5-15/7)**2+(5*sqrt(3)-15/7**sqrt(3))**2)=sqrt(400/49+400*3/49)=40/7
AQの長さ=sqrt((15/7)**2+(15/7*sqrt(3))**2)=30/7
BP/AP+CQ/AQ=(80/11)/(30/11)+(40/7)/(30/7)=4

以上、youtubeのみなさんより、しつこい解説?でした。

会話

誰かyoutubeで,わかりやすく私の別解の解説をお願いします？以下の会話もfreeです。
感想を会話形式にしてみました。「大学入学共通テスト問題作成方針」にあわせて、解説も会話形式にしたいですね。

小学生の花子ちゃん「あれ？これって、45度の三角定規でもできるんじゃないの？太郎兄ちゃん。」
小学生の太郎君　　「そうだね。45度の方が簡単だね。花子ちゃん。」
おねえさん　　　　「あら、45度もたしかめ(検算)に使えるのね。」
お父さん　　　　　「こんなにやって、ケは、たったの配点2点かあ。」　　
お母さん　　　　　「たいへんねえ。」　　

いつのまにか別の3人兄弟。お父さん,お母さんも登場。
45度簡単,本当かな？

参考

予定のタイトル:(図形の性質)「2022年度 大学入学共通テスト 本試験｜数学Ⅰ・数学Ａ第5問」 をWolframAlpha とsympyでやってみたい

○○の定理

○○の定理