n個の結点、異なる形態の二叉樹（数＋生成）

11562 ワード
テーマリンク:
異なる二叉で木を検索:http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees/
異なる二叉ルックアップツリーII：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees-ii/
異なる形態の二叉木の数:
サンプル
n=3を与えると、5つの異なる形態の二叉ルックアップツリーがあります。
　　1           3    3       2      1
　　 \         /    /       / \      \
　　  3      2     1       1   3      2
　　 /      /       \                  \
　　2     1          2                  3
分析
　　 n＝1の場合、1つのルートノードだけがある場合、1つの形態の2つのツリーしか構成できず、nつのノードで構成できる2つのツリーの数はh（n）と表され、h（1）＝1となると分析することができる。h(0)=0
       n=2の場合、1つのルートノードが固定され、2-1つのノードがあります。このノードは、（1、0）、（0、1）の2つのグループに分けることができる。左に1つ置いて、右に0つ置いてください。または左に0個を置き、右に1つを置く。つまり、h(2)=h(0)**h(1)+h(1)*h(0)=2であれば、2つの形態の二叉樹を構成することができる。
      n=3の場合、1つのルートノードが固定され、2つのノードがあります。この2つのノードは、（2，0）、（1，1）、（0，2）の3つのグループに分けることができる。つまりh(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5であれば、5種類の形態の二叉樹を構成することができる。
これを類推すると、n>=2の場合、構成可能な二叉樹の数はh(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+h(n-1)*h(0)種であり、Catalan数の定義に符合し、直接に通項式を利用して結果を得る。
令h（1）＝1、h（0）＝1、catalan数（カルテル数）は再帰式を満足する： 
h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+h(n-1)h(0)(n>=2)
別の再帰式:
   　
h(n)=((4*n-2)/(n+1)*h(n-1)；
デリバリー関係の解は次の通りです。
h(n)=C(2 n，n)/(n+1)(n=1,2,3，…)
この前に言った「N個の数は順次にスタックに入るが、出庫順はどれぐらいあるか？」 同じように使っているのもカトラン数です。
　　 http://www.cnblogs.com/hujunzheng/p/4845354.html
コード
class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: An integer
     */
    long long C(int n, int m){
        n = n-m+1;
        long long ans = 1;
        for(int i=1; i<=m; ++i){
            ans *= n++;
            ans /= i;
        }
        return ans;
    }
    int numTrees(int n) {
        // write your code here
        return C(2*n, n)/(n+1);
    }
};
 
異なる形態のツリーを構築する：
サンプル
n＝3を与え、5つの異なる形態のすべての二叉ルックアップツリーを生成する。
　　1         3     3       2    1
　　 \       /     /       / \    \
　　  3     2     1       1   3    2
　　 /     /       \                \
　　2     1         2                3
実際には、例によって、n個の結点構造の異なる形態の二叉樹の過程が、1,2,3....n個の結点を列挙し、それぞれの結点がルート結点（root、1<=root<=n）であると仮定すれば、（1,2.. root-1）と（root＋1，root＋2…n）はそれぞれrootの左右子樹である。上記のプロセスを繰り返していくごとに、最終的にはすべての形態の二叉樹が得られます。
アルゴリズム
まず弱々しく自分の間違った実現を言います。再帰的に実現する時に異なる二叉樹を得るため、n個の結点がちょうど二叉樹を生成したとどう判断しますか？そこで一つの変数でuseNode(=0)を使って、現在はいくつの結点を使ってツリーを作っているかを表します。useNodeがnに等しい時に、要求に合った木ができたと説明しました。それから、先ほど作った木をコピーして、vectorに入れて、次の条件に合う二叉樹を作り続けます。
エラーコード:
/**
 * Definition of TreeNode:
 * class TreeNode {
 * public:
 *     int val;
 *     TreeNode *left, *right;
 *     TreeNode(int val) {
 *         this->val = val;
 *         this->left = this->right = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: A list of root
     */
    vector ans;
    int cntNode=0;//     
    TreeNode *curRoot = NULL;
    
    void copyT(TreeNode * &tmp, TreeNode *T){
        if(T){
            tmp = new TreeNode(T->val);
            copyT(tmp->left, T->left);
            copyT(tmp->right, T->right);
        }
    }
    
    void buildT(TreeNode * &T, int ld, int rd, int useNode){
        if(ld > rd) return;
        for(int root=ld; root<=rd; ++root){
            T = new TreeNode(root);
            if(ld==1 && rd==cntNode)
                curRoot = T;
            if(useNode+1==cntNode){//         ，     
                TreeNode *tmp = NULL;
                copyT(tmp, curRoot);
                ans.push_back(tmp);
            }
            buildT(T->left, ld, root-1, useNode+1);
            buildT(T->right, root+1, rd, useNode+root-ld+1);
        }
    }
    vector generateTrees(int n) {
        // write your code here
        cntNode = n;
        TreeNode *T = NULL;
        buildT(T, 1, n, 0);
        if(n == 0) ans.push_back(T);
        return ans;
    }
};
その後、運転したら、間違った答えと正しい答えの比較を見ました。
   n=4
出力
[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}]
答えを期待する
[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,1,4,#,2},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}]
つまり、少なくなりました。{3,1,4,シ、2}3を根っこにしている二叉の木がなぜ少なくなりましたか？よく考えてみると、3点の左の子供は1でもいいし、2でもいいです。左の子供は1の場合は無視されます。この時はuseNodeはnに等しくないです。左の子供は2点になります。
正しいコード:
/**
 * Definition of TreeNode:
 * class TreeNode {
 * public:
 *     int val;
 *     TreeNode *left, *right;
 *     TreeNode(int val) {
 *         this->val = val;
 *         this->left = this->right = NULL;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
public:
    /**
     * @paramn n: An integer
     * @return: A list of root
     */
    vector buildT(int ld, int rd){
        vector ans;
        if(ld == rd) {
            TreeNode *T = new TreeNode(ld);
            ans.push_back(T);
            return ans;
        }
        if(ld > rd){
            ans.push_back(NULL);
            return ans;
        }
        for(int i=ld; i<=rd; ++i){
            vector ansLeft = buildT(ld, i-1);
            vector ansRight = buildT(i+1, rd);
            for(auto lx : ansLeft)
                for(auto rx : ansRight){
                    TreeNode *T = new TreeNode(i);
                    T->left = lx;
                    T->right = rx;
                    ans.push_back(T);
                }
        }
        return ans;
    }
    
    vector generateTrees(int n) {
        // write your code here
        vector ans = buildT(1, n);
        return ans;
    }
};
分析：現在の結点Xを確定した後、Xの左の子供の結点（または右の子供の結点）が複数あるかもしれないので、これらの可能な結点を全部vectorに預けて、左の子供の集合からlx結点を選んで、右の子供の集合からrx結点を選んでください。
転載先:https://www.cnblogs.com/hujunzheng/p/5040334.html
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