剣指offer 10.へんたいステップ

原題
1匹のカエルは一度に1段の階段を飛び上がることもできるし、2段も飛び上がることもできるし...n段も飛び上がることもできる.このカエルが1つのn級の階段を跳ぶことを求めて全部で何種類の跳び方があります.
Reference Answer
問題解決の考え方:
依然として典型的な遡及法であり、再帰の法則を見つけるだけでよく、遡及法で実現する.
再帰法則は、res[n] = res[n-1] + res[n-2] + ...+ res[0] + 1+1がn段目の階段に直接ジャンプすることを示す.

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        res = []
        res.extend([0, 1, 2])
        # res[n] = res[n-1] + res[n-2] + ...+ res[0] + 1
        if number > 2:
            for i in range(3, number + 1):
                res.append(sum(res[:i]) + 1)
        return res[number]

C++ Version:

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int base0 = 0, base1 = 1, base2 = 2;
        if (number == 0){
            return base0;
        }
        else if (number == 1){
            return base1;
        }
        else if (number == 2){
            return base2;
        }
    
        vector<int> res;
        res.push_back(base0);
        res.push_back(base1);
        res.push_back(base2);
        
        for (int i = 3; i <= number; ++i){
            res.push_back(accumulate(res.begin(), res.end(),0)+1);
        
        }
        return res.back();
    }
};

以上、時間的複雑度、空間的複雑度はいずれもO(n)である.
バージョンの最適化:
空間複雑度をO(1)にさらに最適化する.C++ Version:

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int base = 1;
        int sum = base + 1;
        
        for(int i=2; i <= number; i++){
            base = sum;
            sum += base;
        }
        return base;
    }
};

ここでは、前のDPの考え方ではなく、法則を見つけました.

n = 1		base = 1;
n = 2		base = 1+ 1 = 2 = 1 + 1;
n = 3		base = 1+ 2 + 1 = 4 = 2 + 2;
n = 4		base = 1 + 2 + 4 + 1 = 8 = 4 + 4;

すなわち、b a s e n=b a s e n−1+b a s e n−1 base_n = base_{n-1} + base_{n−1}basen=basen−1+basen−1であるため,直接法則を持ち込み,すなわち空間複雑度O(1)の最適化バージョンが得られる.
Note:

C++のvector求和方式:int sum=accumulate(va.begin(), va.end(), 0);;