知識

平均・分散

平均、分散をそれぞれ $\mathrm{E}(X)$, $\mathrm{Var}(X)$ として、

$$\mathrm{E}(X) = \sum_{k} k \cdot \mathrm{P}(X=k)$$
$$\mathrm{Var}(X) = \sum_{k} \left[ k - \mathrm{E}(X) \right]^2 \cdot \mathrm{P}(X=k)$$

分散は次の公式でも計算できる（大抵こちらのほうが簡単）。

$$\mathrm{Var}(X) = \mathrm{E} (X^2) - \left[ \mathrm{E}(X) \right]^2$$

幾何分布（Geometric Distribution）

確率変数 $X$ は、「確率 $p=\frac{5}{8}$ で成功する試行を繰り返すとき、はじめて失敗するまでの連続成功回数」と解釈できる。

解答

$p=\frac{5}{8}$ とする。

① 平均

幾何分布の構造を知っていれば、次のように考えることができる：

• 確率 $(p-1)$ でいきなり失敗（$X=0$）
• 確率 $p$ で、最初の試行に成功し、以下繰り返す

したがって、平均値 $\mathrm{E}(X)$ は次の関係を満たす。

$$ \mathrm{E}(X) = (1-p) \cdot 0 + p \left[1 + \mathrm{E}(X) \right] $$

これを解いて、

$$\mathrm{E}(X) = \frac{p}{1-p} = \frac{5}{3}.$$

という解法は、後から思いついた。計算ミスのリスクも小さく有効だと思う。ただしこの方法は、幾何分布だと思ってないと思いつきにくいし、分散の計算には使えない。数式のみから計算する方法として、下記がある。

定義より、
$$\mathrm{E}(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k (1-p) p^k$$

無限和の計算なので、礼儀正しい解法は、まず $0$ から $n$ までの和を求めて、$n \to \infty$ の極限を計算することになるが、やや計算が煩雑になる。有限の値に収束することを前提にして、再帰的な構造を利用するのが簡単。

\begin{align}
\mathrm{E}(X) 
&= \sum_{k=0}^{\infty} k (1-p) p^k \\
&= 0 + \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p) p^k \\
&= \sum_{m=0}^{\infty} (m+1) (1-p) p^{m+1} \;\;\;\text{（$m\equiv k-1$）}\\
&= p \left\{ \sum_{m=0}^{\infty} m (1-p) p^m + \sum_{m=0}^{\infty} (1-p) p^m \right\} \\
&= p\cdot \mathrm{E}(X) + p \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{∵ $\sum_{m=0}^{\infty} (1-p) p^m = 1$}
\end{align}

したがって、

$$\mathrm{E}(X) = \frac{p}{1-p} = \frac{5}{3}.$$

② 分散

同じく、無限和の収束を前提に、再帰構造を利用する。

\begin{align}
\mathrm{E}(X^2) 
&= \sum_{k=0}^{\infty} k^2 (1-p) p^k \\
&= 0 + \sum_{k=1}^{\infty} k^2 (1-p) p^k \\
&= \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)^2 (1-p) p^{m+1} \;\;\;\text{（$m\equiv k-1$）}\\
&= p \left\{ \sum_{m=0}^{\infty} m^2 (1-p) p^m + \sum_{m=0}^{\infty} 2m (1-p) p^m + \sum_{m=0}^{\infty} (1-p) p^m \right\} \\
&= p \left\{ \mathrm{E}(X^2) + 2\cdot \mathrm{E}(X) + 1 \right\}
\end{align}

これを解くと、

$$
\mathrm{E}(X^2) = \frac{2p^2}{(1-p)^2} + \frac{p}{1-p}.
$$

したがって、

\begin{align}
\mathrm{Var}(X) 
&= \mathrm{E}(X^2) - \left[ \mathrm{E}(X) \right ] ^2 \\
&= \frac{p^2}{(1-p)^2} + \frac{p}{1-p} \\
&= \frac{25}{9} + \frac{5}{3} \\
&= \frac{40}{9}.
\end{align}

感想

• 再帰的な構造に気づいて「最初とそれ以降」に分解するのがポイントか。
• $n$ までの和 $S_n$ を求めて $n \to \infty$ という方法は、この場合は計算ミスが怖い。