微分の基本式

微分の基本公式をまとめて記載

べき関数

$ f(x) = x^r $
$ f'(x) = rx^{r-1}　(r \neq 0)$

指数関数

$ f(x) = e^x $
$ f'(x) = e^x $

$ f(x) = a^x $
$ f'(x) = a^x\log_ea $

対数関数

$ f(x) = \log_ex　(x > 0) $
$ f'(x) = \frac{1}{x} $

$ f(x) = \log g(x)　(g(x) > 0) $
$ f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} $

三角関数

$ f(x) = \sin{x} $
$ f'(x) = \cos{x} $

$ f(x) = \cos{x} $
$ f'(x) = -\sin{x} $

$ f(x) = \tan{x} $
$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 {x}} $

$ f(x) = \sin^{-1} {x}　(-1<x<1) $
$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $

$ f(x) = \cos^{-1} {x}　(-1<x<1) $
$ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $

$ f(x) = \tan^{-1}{x} $
$ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} $

• $ \sin x$ ,$ \cos x$は、N階微分するとグルグル回る（符号には注意）
• アークほにゃららもまとめておく。(アークほにゃららはy=xで対象)
  • $\ y = sin^{-1}{x} $　は　$ x = \sin{y} $　と同義。（他も同様)

微分のよく使う公式

合成関数

$ \frac{dy}{dx} = {\frac{dy}{du}}・{\frac{du}{dx}} $

関数の関数になっているような物を単一の関数に変更するために、片方の関数を変数に置き換えて解く。

• ”t = ある関数と置く”が重要
• 置いたものも微分するのを忘れない（後で使うので”チェーンルール”）

積の公式

ここまでで大抵の関数は微分できるけど、あとは関数と関数の掛算の公式もある

$ f'(x)g'(x) = {f'(x)g(x)}+{f(x)g'(x)} $

• 関数と関数の掛算が見えれば、片方ずつ微分して足す。

公式の証明

　時間があるときに・・・やります。。