複素関数の基礎

基本的な定義：
複素数全体の集合を記号${\mathbb{C}}$で表し，
$$\mathbb{C} =~\{a+bi\mid a，b∈\mathbb{R}\}$$とする．
また，${\mathbb{C}}$の四則は次のように定義される．

複素数の四則：$z=a+bi,w=c+di∈\mathbb{C}$とするとき，
(1)$~a+bi=0~\Longleftrightarrow~ a=b=0~(\Longleftrightarrow a^2+b^2=0)$
(2)$z~\pm w=(a\pm c)+(b\pm d)i$
(3)$~zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$
(4)$~w\not=0$のとき，$\displaystyle \frac{z}{w}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}i$

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同一視：
2次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^2$と複素数$\mathbb{C}$の定義を見比べると，
$$\mathbb{R}^2=~\{(a，b)\mid a，b∈\mathbb{R}\} \\
\mathbb{C} =~\{a+bi\mid a，b∈\mathbb{R}\}$$似ている．
そこで，対応を与えることで同一視することができ，その対応は以下のとおりである．

$xy$平面$\mathbb{R}^2 \rightleftharpoons$複素数平面$\mathbb{C}\\$
ベクトル$(a，b) \rightleftharpoons$複素数$a+bi\\$
ベクトル$(a，0)\rightleftharpoons$実数$a∈\mathbb{R}\\$
ベクトル$(0，b)\rightleftharpoons$純虚数$bi∈\mathbb{R}i\\$
原点$(0，0)\rightleftharpoons0∈\mathbb{C}~($原点$)\\$
$x$軸$\rightleftharpoons$実軸$~(=$数直線$~\mathbb{R})\\$
$y$軸$\rightleftharpoons$虚軸$~(=~\mathbb{R}i)$

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複素共役と実部・虚部：
$^{\forall}z=a+bi∈\mathbb{C}$に対して，複素数$a-bi$を$z$の複素共役といい，$\overline{z}~$で表す．
また，この$z=a+bi$の$a$を$z$の実部，$b$を$z$の虚部とよび，$$a=\text{Re}~z，b=\text{Im}~z$$と表す．
これらから以下のことがいえる．

公式：$z=a+bi，w$を複素数とする．
(1)$~\overline{(\overline{z})}=z$
(2)$~\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(3)$~\overline{zw}=\overline{z}~\overline{w}$
(4)$~\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$
(5)$~\text{Re}~z=\displaystyle \frac{z+\overline{z}}{2}$
(6)$~\text{Im}~z=\displaystyle\frac{z-\overline{z}}{2i}$
(7)$~z\overline{z}=a^2+b^2~(\ge0)$

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絶対値と偏角，極形式・極表示：
複素数$z=a+bi$と$0$の複素数平面上での距離を$z$の絶対値または長さといい，$|z|$で表す．
よって，$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z~\overline{z}}$$とかける．
また，$z∈\mathbb{C}\text{\ }\{0\}$と$0$を結ぶ線分と実軸の正の方向のなす角を$z$の偏角($\text{argument}$)といい，$\arg z$と表す．
また，$z=a+bi∈\mathbb{C}\text{\ }\{0\}$において，$r=|z|>0，\arg z=\theta$とおけば，$a=r\cos\theta，b=r\sin\theta$と表せる．このことから，$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$と書ける．これを$z$の極形式または極表示という．
これにより複素数平面上では点の回転により新たな点を与えることができる．

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乗除とド・モアブルの定理：
極形式$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)，w=s(\cos\varphi+i\sin\varphi)~(r，s∈\mathbb{R}_{>0})$をもつ複素数に対して，$$zw=rs\{\cos(\theta+\varphi)+i\sin(\theta+\varphi)\}\\
\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{r}{s}\{\cos(\theta-\varphi)+i\sin(\theta-\varphi)\}$$また，$^{\forall}m∈\mathbb{Z}$に対して，$$z^m=r^m(\cos m\theta+i\sin m\theta)$$が成り立つ．

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オイラーの等式：
$^{\forall}x∈\mathbb{R}$に対して，$e^x$のマクローリン展開は，$$e^x=1+\displaystyle\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$が成り立つ．
ここで，$x=i\theta~(\theta∈\mathbb{R})$を代入すると，
$e^{i\theta}=1+(i\theta)+\displaystyle\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\cdots\\
~~~~~=\left(1-\frac{{\theta}^2}{2!}+\frac{{\theta}^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{{\theta}^3}{3!}+\frac{{\theta}^5}{5!}-\cdots\right)$
となり，右辺の実部は$\cos\theta$，虚部は$\sin\theta$となり以下を得る．

オイラーの等式：$\theta$を実数とするとき，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
さらに，$\theta=\pi$を代入すると$$e^{\pi i}+1=0$$を得る．

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指数関数の定義：

定義：複素数$z=x+iy~(x，y∈\mathbb{R})$に対し，
$$e^z=e^x(\cos{y}+i\sin{y})$$
を対応させる関数を$z$の指数関数(exponential function)とよぶ．$e^z$はexp$z$とも表す．
すなわち，指数関数$e^z$は絶対値$e^x>0$，偏角$y$の複素数である．

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極形式：
指数関数を用いると，$|z|=r>0$，$\arg{z}=\theta$を満たす複素数$z$に対し，
$$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\Longleftrightarrow z=re^{i\theta}$$
が成り立つ．この$z=re^{i\theta}$も，複素数$z$の極形式もしくは極表示とよぶ．

指数関数の性質：指数法則と周期性

$^{\forall}z,w∈\mathbb{C}$対し，次が成り立つ．
(1)$e^z\cdot e^w=e^{z+w}$
(2)$\frac{e^z}{e^w}=e^{z-w}$
(3)$e^{z+2\pi i}=e^z$

このことから指数関数は周期$2\pi i$の周期関数である．とくに$z=0$の場合，

$^{\forall}m∈\mathbb{Z}$に対し，$1=e^0=e^{2\pi mi}$が成り立つ．

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指数関数の冪乗と逆数：一般に次が成り立つ．

$^{\forall}m∈\mathbb{Z}$に対し，$(e^z)^m=e^{mz}$．
このことから，
$z^m=(re^{i\theta})^m=r^me^{im\theta}=r^m(\cos{m\theta}+i\sin{m\theta})$

１の$N$乗根：$N∈\mathbb{N}$に対し，方程式$z^N=1$の解を１の$N$乗根とよび，解は
$$z=\exp{\left(\frac{2m\pi i}{N}\right)}~~(m=0,1,...,N-1)$$の$N$個であり，これは１を頂点に持ち単位円に内接する正$N$角形の頂点である．