知識

テイラー展開・マクローリン展開

$x = a$ でのテイラー展開：

$$
f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3 + \cdots
$$

特に、$x=0$ でのテイラー展開をマクローリン展開という。問題で出てくるのはこちらが多い。

$$
f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots
$$

倍角・３倍角・ｎ倍角の公式

倍角・３倍角くらいまでは覚えておく。それ以上は導出方法を覚えておく。

倍角の公式

• $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cdot\cos\theta$
• $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta-1$

３倍角の公式

• $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$
• $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta$

ｎ倍角の公式

$(\cos \theta+i\sin\theta)^n$ を展開すると、その実部が $\cos(n\theta)$, 虚部が $\sin(n\theta)$ になる（ド・モアブルの定理）。

偶関数・奇関数

• 原点について左右対称な関数を偶関数という：$f(x) = f(-x)$.

• 原点について点対称な関数を奇関数という：$f(x) = -f(-x)$.

• 微分可能なら、偶関数を微分すると奇関数に、奇関数を微分すると偶関数になる

• 奇関数は原点を通る：$f(0) = 0$.

一般化ライプニッツ法則（←NEW）

積の微分の一般化。
$f, g$ が $n$ 回微分可能の時、

$$
(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} f^{(k)}g^{(n-k)}.
$$

ここで、$f^{(j)}$ は $f$ の $j$ 回微分のこと。

解答

①

\begin{align}
\cos^2x
&\sim 1 - \frac{2}{2!}x^2 + \frac{8}{4!}x^4 \\
&= 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4.
\end{align}

\begin{align}
\tan x
&\sim x + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{16}{5!}x^5 \\
&= x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5.
\end{align}