数検１級 (5) 行列式・複素数
問題
$\omega$ を $x^3=1$ の虚数解の１つとするとき、次の行列式 $D$ の２乗の値を求めなさい。
D =
\begin{vmatrix}
1 &\omega &\omega^2 & 1 \\
\omega& \omega^2 & 1 & 1 \\
\omega^2 & 1 & 1 &\omega \\
1 & 1 &\omega &\omega^2
\end{vmatrix}
$x^n - 1 = 0$ は、次のように因数分解できる。 したがって、$z \not= 1$ が $x^n = 1$ の解なら、$(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + 1)=0$ を満たす。 ４次元以上の行列式は計算が大変なので、工夫を凝らしてゼロをたくさん作ったり、低次の行列式に帰着させたりする。 $\mathrm{A}$ の行列式は、ある行（または列）で次のように分解できる: ただし、$M_{i,j}$ は$A$ の $i$ 行と $j$ 列 を取り除いた行列の行列式。 両辺を２乗して、
知識
円分多項式（←NEW）
(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + 1) = 0
行列式
２次元・３次元の行列式
\mathrm{det}
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
= ad - bc.
\mathrm{det}
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
= (aei + bfg + cdh) - (afh + bdi + ceg)
行・列変形の効果
三角行列・ブロック三角行列
\mathrm{det}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & . & . & . \\
& \lambda_2 & . & . \\
&& \ddots & . \\
&&& \lambda_n
\end{bmatrix}
= \prod_{i=1}^{n} \lambda_i
\mathrm{det}
\left[
\begin{array}{c|c}
\mathrm{\large{A}} & \mathrm{\large{B}} \\
\hline
& \mathrm{\large{D}}
\end{array}
\right]
= \mathrm{det} \mathrm{A} \cdot \mathrm{det} \mathrm{D}
ラプラス展開
\begin{align}
\mathrm{det} \mathrm{A}
&= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+k} a_{i,k} M_{i,k} \;\; \text{（列を固定）}\\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{k+j} a_{k,j} M_{k,j} \;\; \text{（行を固定）}
\end{align}
解答
\begin{align}
D
&=
\begin{vmatrix}
1 &\omega &\omega^2 & 1 \\
\omega& \omega^2 & 1 & 1 \\
\omega^2 & 1 & 1 &\omega \\
1 & 1 &\omega &\omega^2
\end{vmatrix} \\
&&\text{列２から$\omega \times$列１を引く、列4から$\omega \times$列3を引く} \\
&=
\begin{vmatrix}
1 & 0 &\omega^2 & 0 \\
\omega & 0 & 1 & 1-\omega \\
\omega^2 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1-\omega &\omega & 0
\end{vmatrix} \\
&&\text{列２でラプラス展開}\\
&= (1-\omega)
\begin{vmatrix}
1 & \omega^2 & 0 \\
\omega & 1 & 1-\omega \\
\omega^2 & 1 & 0
\end{vmatrix} \\
&&\text{サラスの方法} \\
&=(1-\omega)\left[ \omega^4(1-\omega) - (1-\omega) \right] \\
&=(1-\omega)\left[ \omega(1-\omega) - (1-\omega) \right] \\
&=(1-\omega) (1-\omega)(\omega-1) \\
&=-(1-\omega)^3 \\
&=- (1 - 3\omega + 3\omega^2 - \omega^3)\\
&=3\omega (1-\omega)
\end{align}
\begin{align}
D^2
&=9\omega^2 (1-\omega)^2 \\
&=9\omega^2 (1-2\omega+\omega^2) \\
&&\text{$\omega^2+\omega+1=0$ を用いて} \\
&=9\omega^2 (-3\omega) \\
&=-27.
\end{align}
感想
Author And Source
この問題について(数検１級 (5) 行列式・複素数), 我々は、より多くの情報をここで見つけました https://qiita.com/kota9/items/0607cef96126569c4a83著者帰属：元の著者の情報は、元のURLに含まれています。著作権は原作者に属する。
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