数検１級 (7) 重積分
問題
$D = \left\{ (x,y) \,|\, x^2 + y^2 \le 1 \right\}$ と置くとき、次の重積分を求めなさい。
$$
\int\int_D \sqrt{ \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} } dx \, dy
$$
という置換を行う場合、微小積の変換は次のようになる。 ただし、$\mathrm{J}$ はジャコビアン行列。 なら、ジャコビアンは $A$ 自体になるので、 ただし、$d\mathbf{x}$ は微小積とする。 という置換を行うので、 したがって、 被積分関数が $x^2 + y^2$ のみの関数なので、極座標変換をすると $r$ のみの関数となり良さそう。 微小積の変換： 積分範囲： ここで、$r^2 = \sin t$ と置換する。 微小変化： 積分範囲
知識
重積分における置換
\begin{align}
x &= f(u,v) \\
y &= g(u,v)
\end{align}
dx\,dy = \mathrm{det}(\mathrm{J})\, du\,dv
\mathrm{J} =
\begin{bmatrix} f_u & f_v\\ g_u & g_v \end{bmatrix}
線形変換の場合
\mathbf{x} = \mathrm{A} \mathbf{u}
d\mathbf{x} = \mathrm{det}(\mathrm{A})\, d\mathbf{u}
極座標平面の場合
\begin{align}
x &= r\cos\theta \\
y &= r\sin\theta
\end{align}
\mathrm{J} =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{bmatrix}
\mathrm{det}(\mathrm{J}) = r
解答
\begin{align}
x &= r\cos\theta \\
y &= r\sin\theta
\end{align}
$$
dx \, dy = r\,dr \,d\theta
$$
\begin{align}
\int\int_D \sqrt{ \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} } dx \, dy
&= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} \sqrt{ \frac{1-r^2}{1+r^2} } r\,dr\,d\theta \\
&= 2\pi\int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{1-r^2}{1+r^2} } r\,dr && \text{（$\theta$ で積分）} \\
&= 2\pi\int_{0}^{1} \frac{1-r^2}{\sqrt{1 - r^4}} r\,dr && \text{（分子を有理化）}
\end{align}
$$r\,dr = \frac{\cos t}{2} dt$$
\begin{align}
2\pi\int_{0}^{1} \frac{1-r^2}{\sqrt{1 - r^4}} r\,dr
&= 2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin t}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} \cdot \frac{\cos t}{2} dt\\
&= 2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin t}{\cos t} \cdot\frac{\cos t}{2} dt \\
&= \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin t) \,dt \\
&= \pi \left[t + \cos t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \pi \left(\frac{\pi}{2} - 1\right).
\end{align}
感想
Author And Source
この問題について(数検１級 (7) 重積分), 我々は、より多くの情報をここで見つけました https://qiita.com/kota9/items/ddb549892c8c7d186d72著者帰属：元の著者の情報は、元のURLに含まれています。著作権は原作者に属する。
Content is automatically searched and collected through network algorithms . If there is a violation . Please contact us . We will adjust (correct author information ,or delete content ) as soon as possible .