動機

• 長らく数学から離れているので、基本から思い出すためのメモ。まずは定義を復習するところから。
• 自分にとって復習のためと、他に記事書くときに毎回基本から書いていると大変なので参照先として残しておきたい。
• 記法もメモっておく。今更それ書くの？みたいなのは、どちらかというとMathJaxの例として残している。
• qiitaにある他の数学の記事を読む際に、定義、性質を思い出すために使いたい

定義以前の話

• 公理(axiom)：その理論体系において理由ぬきに成り立つ前提条件、仮定のこと。
• 定義(definition)：数学的な概念や、数学的対象のもつある性質に、名前を付けること。
• 命題(proposition)：真か偽かを示せる文章や式のこと。公理と定義から論理的に導いた数学的対象の性質のうち、定義から比較的簡単に導けるものにこれがついていることが多い。命題のうち重要なものは定理と呼ばれる。
• 補題(lemma)：定理を導くために使われる命題。長い証明などで段階的に定理を証明するために、重要な性質として補題を切り出すことがある。
• 定理(theorem)：命題のうち、自明ではなく、応用範囲が広かったり、分野を関連づけるような、比較的影響の大きいものに付与される。
• 系(corollary)：定理から直ちに導かれる重要な命題。
• 予想：命題や定理の候補ではあるが、厳密に証明されていないため、まだ命題、定理になっていない文章や式。

集合論

集合論メモ に移行。

代数学

代数学メモ に移行。

位相空間論

定義 (位相空間 Topological space)

集合 $X$ の部分集合族 $O=O(X)$ が$X$の開集合系であるとは，以下を満たすことをいう

(1) $S \in O , \varnothing \in O$
(2) $m \in N, O_1 , ... , O_m \in O \Rightarrow O_1 \cap ... \cap O_m \in O$
(3) 任意の集合 $\Lambda$ をとり， $\lambda \in \Lambda$ から $O_{\lambda} \in O$ という対応を与えたとき，$\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup} O_{\lambda} \in O$

集合 $X$ に開集合系 $O$ が与えられたとき，$O$ は $X$ に位相を定めるといい、
$O=O(X)$ の元を開集合(open set)とよぶ。
この位相構造が定められた集合 $(X,O(X))$ を位相空間(topological space)という．

$m \in N, O_1 , ... , O_m \in O \Rightarrow O_1 \cap ... \cap O_m \in O$
$\underset{\lambda \in \Lambda}{\cup}  O_{\lambda} \in O$

線形代数

微積分

幾何学

定義 (道)

$R^1$ の閉区間を $I=[0, 1]$ 、$X$ を位相空間とする。連続写像 $\alpha : I \rightarrow X$ を $X$ 内の道という。
$\alpha(0)$ を始点、$\alpha(1)$ を終点という。始点と終点が一致している道をループという

定義 (ホモトピー)

$X$ を位相空間とする。連続関数 $H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X$ が、$X$ 内の 道 $\alpha, \beta$ に対し
$H(0, t) = \alpha (t) , H(1, t) = \beta (t)$
を満たすとき、写像 $H$ を道 $\alpha,\beta$ の間のホモトピー (homotopy) という。

2つの道 $\alpha,\beta$ の間にホモトピーが存在することを、$\alpha$ と $\beta$ は互いにホモトープ (homotope)、ホモトピック (homotopic) である、または、同じホモトピー型であるという。

互いにホモトピックであることを $\alpha \simeq \beta$と表す

参考

Qiitaで使える数式や圏論については、以下を参考にさせていただきました。

• MathJax Documentation
• Qiitaの数式チートシート
• Easy Copy MathJax
• MathJaxで利用可能なTeXコマンド（非公式）
• 機械学習などの本でよく出てくる数式の、Qiitaでの書き方集
• nLab

以上