上極限と下極限

覚え書き。正しさは不明。

定義

$$
上極限：\quad \limsup_{ n \to \infty } A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k
$$
$$
下極限：\quad \liminf_{ n \to \infty } A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k
$$

具体例1

$[0, 1]$を下記のような区間$A_n$に分割する。

$$
A_n = \Big(\Big(\frac{1}{2}\Big)^n, \Big(\frac{1}{2}\Big)^{n-1}\Big] \quad(n = 1, 2, 3,...)
$$
とする。例えば
$$
A_1 = \Big(\frac{1}{2}, 1\Big],\; A_2 = \Big(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\Big],\; A_3 = \Big(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\Big],\; ...
$$

となる。

このとき、$k=n$から$\infty$までの和と共通部分はそれぞれ下記のようになる。

$$
\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k = \Big(\Big(\frac{1}{2}\Big)^\infty, \Big(\frac{1}{2}\Big)^n\Big) = \Big[0, \Big(\frac{1}{2}\Big)^n\Big)
$$
$$
\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k = \varnothing\quad(※A_nは互いに素な集合なので共通部分は無い。)
$$
よって
$$
\limsup_{n \to \infty} A_n = {0}
$$
$$
\liminf_{n \to \infty} A_n = \varnothing
$$
である。

具体例2

$A_n$を下記とする。

$$
A_n = \Big[-\frac{1}{n},\; \frac{1}{n} \Big] \quad (n = 1, 2, ...)
$$
例えば
$$
A_1 = \Big[-1,\, 1\Big],\; A_2 = \Big[-\frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\Big],\; A_3 = \Big[-\frac{1}{3},\, \frac{1}{3}\Big],\; ...
$$
となる。

このとき、$k = n$から$\infty$までの和と共通部分はそれぞれ下記のようになる。
$$
\bigcup_{k=n}^\infty A_k = \Big[-\frac{1}{n},\, \frac{1}{n}\Big]
$$
$$
\bigcap_{k=n}^\infty A_k = \Big[-\frac{1}{\infty},\,\frac{1}{\infty}\Big] = {0}
$$
よって
$$
\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\;\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k
= \bigcap_{n=1}^\infty \Big[-\frac{1}{n},\,\frac{1}{n}\Big]= {0}
$$
$$
\liminf_{n \to \infty} A_n= \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k
= \bigcup_{n=1}^{\infty}{0} = {0}
$$
である。