「アルゴリズム」素数ふるい、分解素数
素数ふるい、分解素数列挙ふるい法 原始ふるい法 最適化 分解素因数 素朴アルゴリズム 最適化 Eratosthenesふるい法(エラストニふるい法) リニアふるい法(オーラふるい法)
列挙ふるい法
素数は因数が1 1 1とそれ自体の数しかないことを知っていますが、別の方法では2 2~n−1 n−1 n−1 n−1の範囲にその因数が1つもないことを意味します.
げんしふるいほう
2からn−1 n−1 n−1までの列挙
最後のcn t cnt cntは素数個数であり,pr i m e Primeが保持するのは素数である.
最適化
実際には,完全二乗数を除いて因数はペアで現れるので,i%j==0 i%j=0 i%j=0 i%j=0がループから飛び出していないと判断した場合,i%(i/j)i%(i/j)i%(i/j)i%(i/j)が0であるか否かを判断する必要がなくなり,反証法で証明する.
証明 存在i%j=0 i%j=0 i%j=0かつj>i/2 j>i/2 j>i/2
ぶんかいしつりょう
素朴なアルゴリズム
説明はしません...
最適化
もう一つ深刻な問題がありますが、私たちは本当にi i iが質量数であるかどうかを判断する必要がありますか?実は使わない
証明 はi i iが存在すると仮定し、n%i==0 n%i=0 n%i=0であり、i i iが合数0 n\%j!=0 n%j!=0了
Eratosthenesふるいほう
私たちは発見して、実は2 2 2にとって、私たちはi%2 i%2 i%2が0 0 0であるかどうかを判断し続けたが、偶数が2 2 2 2によって除去されたかどうかを判断する必要は全くない. 各素数について、その倍数はすべて合数であり、分解素数と同様に、これまでマークされていなかったすべての数は素数である
せんけいふるいほう
実は6=2∗3 6=2*3=2∗3なので、6 6 6は2回繰り返しマークされているので、いくつかの数は何度もマークされているので、発見されたすべての素数をマークします.それらのi i i i倍は合数です.
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列挙ふるい法
素数は因数が1 1 1とそれ自体の数しかないことを知っていますが、別の方法では2 2~n−1 n−1 n−1 n−1の範囲にその因数が1つもないことを意味します.
げんしふるいほう
2からn−1 n−1 n−1までの列挙
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
bool flag = true;
for (int j = 2; j < i; j ++) {
if (i % j == 0) {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) {
Prime[++ cnt] = i;
}
}
最後のcn t cnt cntは素数個数であり,pr i m e Primeが保持するのは素数である.
最適化
実際には,完全二乗数を除いて因数はペアで現れるので,i%j==0 i%j=0 i%j=0 i%j=0がループから飛び出していないと判断した場合,i%(i/j)i%(i/j)i%(i/j)i%(i/j)が0であるか否かを判断する必要がなくなり,反証法で証明する.
証明 存在i%j=0 i%j=0 i%j=0かつj>i/2 j>i/2 j>i/2
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
bool flag = true;
for (int j = 2; j * j <= i; j ++) { // ，
if (i % j == 0) {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) {
Prime[++ cnt] = i;
}
}
ぶんかいしつりょう
素朴なアルゴリズム
説明はしません...
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
if (n % i == 0) {
bool flag = true;
for (int j = 2; j < i; j ++) {
if (i % j == 0) {
flag = false;
break;
}
}
while (n % i == 0 && flag) {
n /= i;
Prime[++ cnt] = i;
}
}
}
最適化
もう一つ深刻な問題がありますが、私たちは本当にi i iが質量数であるかどうかを判断する必要がありますか?実は使わない
証明 はi i iが存在すると仮定し、n%i==0 n%i=0 n%i=0であり、i i iが合数0 n\%j!=0 n%j!=0了
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
while (n % i == 0) {
Prime[++ cnt] = i;
n /= i;
}
}
Eratosthenesふるいほう
私たちは発見して、実は2 2 2にとって、私たちはi%2 i%2 i%2が0 0 0であるかどうかを判断し続けたが、偶数が2 2 2 2によって除去されたかどうかを判断する必要は全くない. 各素数について、その倍数はすべて合数であり、分解素数と同様に、これまでマークされていなかったすべての数は素数である
void Eratosthenes_sieve() {
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
if (flag[i]) continue; //
Prime[++ cnt] = i;
for (int j = i; j <= n / i; j ++) {
flag[j * i] = true;
}
}
}
せんけいふるいほう
実は6=2∗3 6=2*3=2∗3なので、6 6 6は2回繰り返しマークされているので、いくつかの数は何度もマークされているので、発見されたすべての素数をマークします.それらのi i i i倍は合数です.
void line_sieve(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
if (!flag[i]) {
Prime[++ cnt] = i;
}
for (int j = 1; j <= cnt && Prime[j] * i <= n; j ++) {
flag[i * Prime[j]] = true;
if(i % Prime[j] == 0) {
break;
}
}
}
}