機械学習や統計学で使う主な確率分布一覧とpythonでのコード

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統計学 機械学習 Python 確率分布 Python テキストリンク

はじめに

機械学習では多数の確率分布を使いますが、それぞれの特徴などを覚えるのが大変なので、一覧でまとめてみました。

確率分布一覧

確率分布名      表記 確率（密度）関数 範囲 パラメータ 平均 中央値 最頻値 分散 pythonでの確率密度関数（もしくは確率質量関数）のコード
ベルヌーイ $B_r(q)$ $q^x(1-q)^{1-x}$ $x=0,1$ $0\le q \le 1$ $q$ 0 or 1 0 or 1 $q(1-q)$ scipy.stats.bernoulli.pmf
ポアソン $Po(\lambda)$ $\Large\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ $x=0,1,2,...$ $\lambda >0$ $\lambda$ - $\lceil \lambda\rceil-1,\lfloor\lambda\rfloor$ $\lambda$ scipy.stats.poisson.pmf
一様 $U(a,b)$ $\large\frac{1}{b-a}$ $a\le x\le b$ $-\infty<a<b<\infty$ $\large\frac{b-a}{2}$ $\large\frac{b-a}{2}$ $[a,b]$ $\large\frac{(b-a)^2}{12}$ scipy.stats.uniform.pdf
ベータ $Be(\alpha,\beta)$ $\large\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ $0\le x\le 1$ $\alpha>0,\beta > 0$ $\large\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ - $\large\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}$ $\large\frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$ scipy.stats.beta.pdf
正規 $N(\mu,\sigma^2)$ ${\large\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]$ $x\in \mathbb{R}$ $\mu\in \mathbb{R},\sigma^2 > 0$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\sigma^2$ scipy.stats.norm.pdf
t $T(\nu,\mu,\sigma^2)$ $\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\sqrt{}\nu\pi\sigma^2}\left[1+\frac{(x-\mu)^2}{\nu\sigma^2}\right]^{-\frac{\nu+1}{2}}$ $x\in \mathbb{R}$ $\nu>0,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ ${\large\frac{\nu}{\nu-2}}\sigma^2$ scipy.stats.t.pdf
コーシー $Ca(\mu,\sigma)$ ${\large\frac{1}{\pi\sigma} }\left[ 1+ {\large\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}^2 \right]^{-1}$ $x\in \mathbb{R}$ $\mu\in \mathbb{R},\sigma > 0$ $n.a.$ $\mu$ $\mu$ $n.a.$ scipy.stats.cauchy.pdf
ラプラス $La(\mu,\sigma)$ ${\large\frac{1}{2\sigma}} \exp \left[ -{\large\frac{|x-\mu|}{\sigma}} \right]$ $x\in \mathbb{R}$ $\mu\in \mathbb{R},\sigma > 0$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ $2\sigma^2$ scipy.stats.laplace.pdf
ガンマ $Ga(\alpha,\beta)$ ${\large\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$ $x>0$ $\alpha >0,\beta>0$ ${\large\frac{\alpha}{\beta}}$ - ${\large\frac{\alpha-1}{\beta}}$ ${\large\frac{\alpha}{\beta^2}}$ scipy.stats.gamma.pdf
逆ガンマ $Ga^{-1}(\alpha,\beta)$ ${\large\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}x^{-(\alpha+1)}e^{-\frac{\beta}{x}}$ $x>0$ $\alpha >0,\beta>0$ ${\large\frac{\beta}{\alpha-1}}$ - ${\large\frac{\beta}{\alpha+1}}$ ${\large\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}}$ scipy.stats.invgamma.pdf
カイ2乗 $X^2(\nu)$ $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\nu}{2}} }{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}x^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$ $x>0$ $\nu>0$ $\nu$ - $\nu-2$ $2\nu$ scipy.stats.chi2.pdf
指数 $\epsilon_{xp}(\lambda)$ $\lambda e^{-\lambda x}$ $x>0$ $\lambda>0$ ${\large\frac{1}{\lambda}}$ ${\large\frac{\log{2}}{\lambda}}$ 0 ${\large\frac{1}{\lambda^2}}$ scipy.stats.expon.pdf
多変量正規 $N_m({\bf\mu},{\bf\Sigma})$ ${\large\frac{1}{(2\pi)^{\frac{m}{2}}\sqrt{|{\bf\Sigma}|}}} \exp \left[-\frac{1}{2}({\bf x}-{\bf \mu})^{\top}{\bf\Sigma}^{-1}({\bf x}-{\bf \mu})\right]$ ${\bf x} \in\mathbb{R}^m$ ${\bf\mu} \in\mathbb{R}^m,|{\bf\Sigma}|>0$ ${\bf\mu}$ - ${\bf\mu}$ ${\bf\Sigma}$ scipy.stats.multivariate_normal.pdf
多変量t $T_m(\nu,{\bf\mu},{\bf\Sigma})$ $\frac{\Gamma\left({\frac{\nu+m}{2}}\right)}{\Gamma\left({\frac{\nu}{2}}\right) (\pi\nu)^{\frac{m}{2}} |{\bf\Sigma}|^{\frac{1}{2}}} \left[ 1 + \frac{1}{\nu} (\textbf{x} - {\bf \mu})^{T} {\bf \Sigma}^{-1}(\textbf{x} - {\bf \mu})\right]^{\frac{-(\nu+m)}{2}}$ ${\bf x} \in \mathbb{R}^m$ $\nu>0,{\bf\mu} \in\mathbb{R}^m,|{\bf\Sigma}|>0$ ${\bf\mu}$ - ${\bf\mu}$ ${\large\frac{\nu}{\nu-2}}{\bf\Sigma}$ （調査中。。）

今後について

それぞれの分布についての説明などを追記・更新していきたいと思います。

改訂履歴

2020年4月12日　：　初版、タグ名修正

2020年4月15日　：　リンク修正

参考文献

この記事は以下の情報を参考にして執筆しました。

2 D配列-行列の合計(C言語)
3611:[Heoi 2014]大工事|樹形DP|虚樹